Encontre a série de Fourier indicada para a função dada e esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três periodos.
(a) f(x) = -x, -L <= x <= L

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a série de Fourier para a função no intervalo e depois desenhar o gráfico dessa série em três períodos. Vamos precisar entender o que é uma série de Fourier, como calcular seus coeficientes e como representar a função usando essa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Fourier. É uma maneira de representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para funções com período , a série de Fourier tem a forma:
Precisamos encontrar os coeficientes , e .

Passo 3

Vamos calcular , que representa a média da função no intervalo.
Integrando:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Observando que é uma função ímpar e é par, o produto será ímpar. A integral de uma função ímpar em intervalos simétricos é zero. Então, para todo .

Passo 5

Vamos calcular agora os coeficientes :
Como é ímpar e também é ímpar, o produto será par. Podemos simplificar a integral:
Vamos resolver essa integral por partes. Seja e . Então, e .
Aplicando a integração por partes:
Substituindo:
Avaliando de 0 a :
Como e :
Portanto:

Passo 6

Agora que temos todos os coeficientes, a série de Fourier fica:

Resposta

A série de Fourier para a função no intervalo é:

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