Encontre a série de Fourier indicada para a função dada e esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três periodos.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a série de Fourier para a função
no intervalo
e depois desenhar o gráfico dessa série em três períodos. Vamos precisar entender o que é uma série de Fourier, como calcular seus coeficientes e como representar a função usando essa série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Fourier. É uma maneira de representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para funções com período
, a série de Fourier tem a forma:
Precisamos encontrar os coeficientes
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular
, que representa a média da função no intervalo.
Integrando:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Observando que
é uma função ímpar e
é par, o produto será ímpar. A integral de uma função ímpar em intervalos simétricos é zero. Então,
para todo
.
Passo 5
Vamos calcular agora os coeficientes
:
Como
é ímpar e
também é ímpar, o produto será par. Podemos simplificar a integral:
Vamos resolver essa integral por partes. Seja
e
. Então,
e
.
Aplicando a integração por partes:
Substituindo:
Avaliando de 0 a
:
Como
e
:
Portanto:
Passo 6
Agora que temos todos os coeficientes, a série de Fourier fica:
Resposta
A série de Fourier para a função
no intervalo
é: