Sejam p in Z com p neq 0 e
D(p):=d in Z ; d mid p.
Prove que 1,-1, p,-p in D(p).

Passo 1

O enunciado fixa um inteiro pneq0 e define
D(p)=,dinZmid dmid p,
isto é, din D(p) se e somente se existe um inteiro q tal que
p=d,q
Queremos mostrar que 1,-1,p e -p satisfazem essa definição, ou seja, cada um divide p.

Passo 2

Para d=1, basta escolher q=p. De fato
p = 1 cdot p,
e como pinZ, isso prova que 1mid p e, portanto, 1in D(p).

Passo 3

Para d=-1, escolhemos q=-p. Então
p = (-1)cdot(-p),
e como -pinZ, concluímos que -1mid p e, logo, -1in D(p).

Passo 4

Para d=p, basta tomar q=1. Obtemos
p= pcdot 1,
com 1inZ, o que mostra que pmid p e, assim, pin D(p).

Passo 5

Para d=-p, escolhemos q=-1. Então
p = (-p)cdot(-1),
e como -1inZ, segue que -pmid p e, portanto, -pin D(p).

Resposta

Como demonstrado, 1,-1,p e -p satisfazem a definição de divisor de p. Portanto,
1,,-1,,p,,-p ;in; D(p)

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