Determine dim(Im(T)) sabendo que:
T: R^5 R^7 é uma TL injetiva

Passo 1

O enunciado diz que temos uma transformação linear T: R^5 to R^7 e que T é injetiva. Queremos encontrar dim(Im(T)). O conteúdo principal aqui é o Teorema da Dimensão (ou Teorema da Dimensão–Nulidade).

Passo 2

Pelo Teorema da Dimensão–Nulidade, para toda transformação linear T: V to W entre espaços vetoriais, vale
dim(ker T) + dim(Im(T)) = dim(V)
No nosso caso, V = R^5, logo dim(V) = 5.

Passo 3

Como T é injetiva, temos ker T = 0. Portanto
dim(ker T) = 0

Passo 4

Substituindo no Teorema da Dimensão–Nulidade:
0 + dim(Im(T)) = 5 Longrightarrow dim(Im(T)) = 5

Resposta

dim(Im(T)) = 5.

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