Encontre uma base e dimensão do núcleo e da imagem para cada matriz:
[cccc ^prime 1^prime & 0 & -1 & 1 -1 & -1 & 1 & 1]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & 0 & -1 & 1 -1 & -1 & 1 & 1
e pede a base e dimensão do núcleo (núcleo = solução de Ax=0) e da imagem (espaço gerado pelas colunas de A). Vamos usar eliminação de Gauss para achar o posto e os pivôs, depois extrair base da imagem e resolver o sistema homogêneo para o núcleo.

Passo 2

Aplicamos operações de linha para obter a forma escalonada:
1 & 0 & -1 & 1 -1 & -1 & 1 & 1 ;xrightarrowL2to L2+L1; 1 & 0 & -1 & 1 0 & -1 & 0 & 2 ;xrightarrowL2to -L2; 1 & 0 & -1 & 1 0 & 1 & 0 & -2
Há pivôs na coluna 1 e na coluna 2, logo rank(A)=2.

Passo 3

Como as colunas 1 e 2 são pivôs, uma base da imagem de A é dada pelas colunas correspondentes de A:
l(1,-1)^T,;(0,-1)^Tr
Portanto
diml(Im(A)r)=2

Passo 4

Para o núcleo, resolvemos
Tomando parâmetros , obtemos
Escrevendo como combinação linear:
Logo uma base do núcleo é
e

Resposta

Base da imagem: (1,-1)^T,,(0,-1)^T, dim(Im(A))=2.
Base do núcleo: (1,0,1,0),,(-1,2,0,1), dim(ker(A))=2.

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