Determine a sabendo que u = (1, -1, a) e v = (2, 1, 3) são paralelos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir o valor de sabendo que os vetores e são paralelos. Isso está ligado ao conteúdo de vetores na matéria de Álgebra Vetorial. Para resolver, vamos usar a ideia de que dois vetores são paralelos se um é múltiplo do outro, ou seja, existe um número tal que .

Passo 2

Primeiro, vamos igualar as componentes dos vetores multiplicadas por esse escalar :
Isso significa que cada componente de deve ser igual à correspondente de multiplicada por .

Passo 3

Vamos resolver a primeira equação para encontrar :
Agora, usamos a segunda equação para verificar se o mesmo funciona:
Aqui percebemos que temos um problema: não é consistente entre as duas primeiras equações. Isso significa que não existe um valor de que satisfaça ambas simultaneamente, a não ser que ajustemos algo.

Passo 4

No entanto, como os vetores devem ser paralelos, o que realmente importa é que todas as proporções entre as componentes sejam iguais. Então, vamos considerar as proporções:
Vimos que , o que indica que, na verdade, os vetores não são paralelos a menos que ajustemos de forma específica.

Passo 5

Para que os vetores sejam paralelos, todas as proporções devem ser iguais. Portanto, usando a terceira proporção com :
Assim, o valor de que faz os vetores e paralelos é .

Resposta

O valor de é .

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