Suponha que phi seja uma função diferenciável de uma variável. Mostre que todos os planos tangentes ao gráfico da função f(x, y) = x * phi(y / x) se interceptam em um ponto comum.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que todos os planos tangentes ao gráfico da função se interceptam em um ponto comum. Isso envolve cálculo diferencial, especificamente o estudo de planos tangentes a superfícies.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a expressão geral para um plano tangente ao gráfico da função . Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Para derivar isso, usamos a regra do produto e a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, calculamos a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Com as derivadas parciais em mãos, a equação do plano tangente ao ponto no gráfico de é dada por:
Sabemos que .

Passo 6

Substituindo e na equação do plano tangente:

Passo 7

Vamos reorganizar essa equação para ver se todos os planos tangentes passam por um ponto comum . Isso significa que as coordenadas devem satisfazer a equação do plano tangente para quaisquer .
Substituindo , , e na equação do plano tangente:

Passo 8

Para que isso valha para todos os , os coeficientes devem cancelar-se de forma que sejam constantes independentes de e . Após simplificações, percebemos que isso acontece se e .
Substituindo e na equação, encontramos que .

Resposta

Todos os planos tangentes ao gráfico de se interceptam no ponto comum .

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