Suponha que
seja uma função diferenciável de uma variável. Mostre que todos os planos tangentes ao gráfico da função
se interceptam em um ponto comum.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que todos os planos tangentes ao gráfico da função
se interceptam em um ponto comum. Isso envolve cálculo diferencial, especificamente o estudo de planos tangentes a superfícies.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a expressão geral para um plano tangente ao gráfico da função
. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Para derivar isso, usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Com as derivadas parciais em mãos, a equação do plano tangente ao ponto
no gráfico de
é dada por:
Sabemos que
.
Passo 6
Substituindo
e
na equação do plano tangente:
Passo 7
Vamos reorganizar essa equação para ver se todos os planos tangentes passam por um ponto comum
. Isso significa que as coordenadas
devem satisfazer a equação do plano tangente para quaisquer
.
Substituindo
,
, e
na equação do plano tangente:
Passo 8
Para que isso valha para todos os
, os coeficientes devem cancelar-se de forma que
sejam constantes independentes de
e
. Após simplificações, percebemos que isso acontece se
e
.
Substituindo
e
na equação, encontramos que
.
Resposta
Todos os planos tangentes ao gráfico de
se interceptam no ponto comum
.