Seja f(x, y)=x^2+y, Calcule,
lim (h, k) (0,0) f(x+h, y+k)-f(x, y)-2 x h-h|(h, k)|

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular o limite da função
lim (h, k) (0,0) f(x+h, y+k)-f(x, y)-2 x h-h|(h, k)|
onde a função dada é . Estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular a função dada e aplicar conceitos de limites vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir f(x+h, y+k) = (x+h)^2 + (y+k) = x^2 + 2xh + h^2 + y + k na expressão. Como , temos:

Passo 3

Agora, vamos substituir [x^2 + 2xh + h^2 + y + k] - [x^2 + y] - 2xh - h|(h, k)| e na expressão original:

Passo 4

Simplificando o numerador:
x^2 + 2xh + h^2 + y + k - x^2 - y - 2xh - h = h^2 + k - h
Então, a expressão fica:
h^2 + k - hraizh^2 + k^2

Passo 5

Agora, vamos dividir cada termo no numerador pelo denominador:
h^2raizh^2 + k^2 + kraizh^2 + k^2 - hraizh^2 + k^2

Passo 6

Analisando cada termo separadamente quando tende a :
  1. tende a 0 porque o numerador cresce mais lentamente que o denominador.
  2. pode variar, mas como e tendem a 0, esse termo tende a 0.
  3. também tende a 0 pelas mesmas razões.

Passo 7

Portanto, somando os limites de cada termo:
0 + 0 - 0 = 0

Resposta

O limite é .

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