Utilize o processo de integração por substituição trigonométrica para resolver as integrais a seguir.
integral d tt^3 raizt^2-25

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu a seguinte integral para resolver usando integração por substituição trigonométrica:
integral dtt^3 raizt^2-25
Estamos lidando com cálculo integral, especificamente utilizando substituição trigonométrica. Para resolver essa integral, vamos precisar entender como fazer a substituição adequada quando temos expressões que envolvem raízes quadradas de funções quadráticas, como raizt^2-25.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a expressão dentro da raiz quadrada, t^2 - 25, sugere o uso da substituição trigonométrica do tipo secante. Isso porque t^2 - a^2 se encaixa bem com a identidade sec^2 theta - 1 = tan^2 theta .
Então, vamos definir:
t = 5 sec theta
Aqui, a = 5 porque 25 = 5^2.

Passo 3

Agora, vamos encontrar dt em termos de theta:
dt = 5 sec theta tan theta , dtheta
Isso vem da derivada de t = 5 sec theta, onde a derivada de sec theta é sec theta tan theta.

Passo 4

Substituindo t e dt na integral original:
integral dtt^3 raizt^2-25 = integral 5 sec theta tan theta , dtheta(5 sec theta)^3 raiz(5 sec theta)^2 - 25
Simplificando os termos:
= integral 5 sec theta tan theta , dtheta125 sec^3 theta raiz25 sec^2 theta - 25

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
raiz25 sec^2 theta - 25 = raiz25(sec^2 theta - 1) = raiz25 tan^2 theta = 5 tan theta
Substituindo de volta na integral:
= integral 5 sec theta tan theta , dtheta125 sec^3 theta cdot 5 tan theta = integral 5 sec theta tan theta , dtheta625 sec^3 theta tan theta

Passo 6

Agora, cancelamos os termos semelhantes:
= integral 5625 sec^2 theta , dtheta = 1125 integral cos^2 theta , dtheta
Aqui, usamos que 1sec^2 theta = cos^2 theta.

Passo 7

Para integrar cos^2 theta, usamos a identidade trigonométrica:
cos^2 theta = 1 + cos 2theta2
Então, a integral fica:
1125 integral 1 + cos 2theta2 , dtheta = 1250 integral (1 + cos 2theta) , dtheta

Passo 8

Integrando termo a termo:
1250 ( integral 1 , dtheta + integral cos 2theta , dtheta ) = 1250 ( theta + sin 2theta2 ) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Agora, precisamos voltar à variável original t. Lembrando que t = 5 sec theta, então:
sec theta = t5 implies theta = sec^-1( t5 )
Também temos:
sin 2theta = 2 sin theta cos theta
Sabendo que tan theta = raizsec^2 theta - 1 = raizt^2 - 255, podemos expressar sin theta e cos theta em termos de t.

Passo 10

Simplificando a expressão final:
1250 ( sec^-1( t5 ) + raizt^2 - 25t ) + C

Resposta

A integral vale:
1250 sec^-1( t5 ) + raizt^2 - 25250 t + C

Exercícios relacionados