Utilize o processo de integração por substituição trigonométrica para resolver as integrais a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu a seguinte integral para resolver usando integração por substituição trigonométrica:
Estamos lidando com cálculo integral, especificamente utilizando substituição trigonométrica. Para resolver essa integral, vamos precisar entender como fazer a substituição adequada quando temos expressões que envolvem raízes quadradas de funções quadráticas, como
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a expressão dentro da raiz quadrada,
, sugere o uso da substituição trigonométrica do tipo secante. Isso porque
se encaixa bem com a identidade
.
Então, vamos definir:
Aqui,
porque
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar
em termos de
:
Isso vem da derivada de
, onde a derivada de
é
.
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Agora, cancelamos os termos semelhantes:
Aqui, usamos que
.
Passo 7
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Passo 8
Integrando termo a termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Agora, precisamos voltar à variável original
. Lembrando que
, então:
Também temos:
Sabendo que
, podemos expressar
e
em termos de
.
Passo 10
Simplificando a expressão final:
Resposta
A integral vale: