Esboce a saída de um sistema linear e invariante no tempo cuja resposta ao impulso é
h(t)=u(t+1)-2 u(t)+u(t-1)
para as seguintes entradas:
x(t)=-u(t)+2 u(t-1)-u(t-2)

Passo 1

O enunciado pede a resposta y(t) de um sistema LTI cuja resposta ao impulso é
h(t)=u(t+1)-2,u(t)+u(t-1)
para a entrada
x(t)=-u(t)+2,u(t-1)-u(t-2)
Como o sistema é LTI, basta calcular a convolução
y(t)=(h*x)(t)=integral-infty^inftyh(tau),x(t-tau),dtau

Passo 2

Note que
h(t)=l[u(t+1)-u(t)r];-;l[u(t)-u(t-1)r]
é a diferença de dois retângulos unitários: um em [-1,0) de amplitude +1 e outro em [0,1) de amplitude -1.
Analogamente,
x(t)=-u(t)+2,u(t-1)-u(t-2)
é -1 em [0,1), +1 em [1,2) e zero fora de [0,2).

Passo 3

Convoluir cada retângulo unitário com x(t) equivale a integrar x sobre janelas de duração 1. Em particular dá-se
y(t) =integral-1^0x(t-tau),dtau ;-;integral0^1x(t-tau),dtau
e, trocando variável taumapsto s=t-tau, mostra-se que
y(t) =integralt^,t+1x(s),ds ;-; integral,t-1^,tx(s),ds

Passo 4

Como x(s)=-1 em [0,1), +1 em [1,2) e zero fora, avaliamos as duas integrais em cada faixa de t. O resultado piecewise é
y(t)= 0, & t< -1, -(t+1), & -1<= t<0, 3t-1, & 0<= t<1, 5-3t, & 1<= t<2, t-3, & 2<= t<3, 0, & t>= 3

Resposta

y(t)= 0, & t< -1, -(t+1), & -1<= t<0, 3t-1, & 0<= t<1, 5-3t, & 1<= t<2, t-3, & 2<= t<3, 0, & t>= 3
Esse gráfico é contínuo, nulo fora de [-1,3], decai linear de 0 a -1 em [-1,0], sobe a 2 em t=1, cai a -1 em t=2 e retorna a zero em t=3.

Exercícios relacionados