Usando as regras de derivação estudadas, determine a derivada das funções:
y=8 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função dada. Informações fornecidas:
  • A função é y = 8\,x^{2}.
  • Preciso encontrar y' (a derivada de y em relação a x).

Passo 2

Relembrando as regras que vou usar (explicadas de forma bem explícita):
  • Regra da constante multiplicativa: se y = a\cdot f(x) com a constante, então \dfrac{d}{dx}[a\cdot f(x)] = a\cdot f'(x). Aqui a é um número que não depende de x; f(x) é a função que depende de x.
  • Regra do expoente (regra do poder): para f(x)=x^{n} com n número real, \dfrac{d}{dx}[x^{n}] = n\,x^{n-1}. Nesta fórmula n é o expoente e x é a variável. Essa regra é obtida a partir da definição de derivada e é a mais usada para polinômios.
Vou aplicar essas duas regras juntas porque a função é um número multiplicando x^{2}.

Passo 3

Aplicando a regra do poder à parte x^{2}:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2\,x^{2-1}=2\,x.
Explicando cada termo: o expoente n=2 vem para frente como coeficiente, e subtrai-se 1 do expoente, ficando 2-1=1, ou seja x^{1}, que escrevemos simplesmente x.

Passo 4

Agora uso a linearidade/constante multiplicativa: a derivada de 8\cdot x^{2} é 8 vezes a derivada de x^{2}. Assim
\frac{d}{dx}\bigl(8\,x^{2}\bigr)=8\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 5

Substituindo o resultado do Passo 3 em 8 vezes:
\frac{d}{dx}\bigl(8\,x^{2}\bigr)=8\cdot(2\,x)=16\,x.
Aqui multiplicou-se os números 8 e 2 dando 16, e manteve-se o fator x.

Passo 6

(Verificação rápida pela definição de derivada para quem quiser confirmar)
A definição de derivada é
y'=\lim_{h\to0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}.
Substituindo y(x)=8x^{2} obtém-se
\frac{(8(x+h)^{2}-8x^{2})}{h}=\frac{8(x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2})}{h}=\frac{8(2xh+h^{2})}{h}=8(2x+h).
Fazendo h\to0 vem 8(2x+0)=16x, confirmando o resultado obtido com as regras.

Resposta

y'=16\,x

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