Usando as regras de derivação estudadas, determine a derivada das funções:
y=9 x

Passo 1

O enunciado dá a função y=9x e pede para determinar a derivada dessa função em relação a x.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é y=9x.
  • A pergunta é: qual é a derivada de y em relação a x?

Passo 2

Vou relembrar a definição de derivada pelo limite (essa é a base teórica): para uma função y=f(x),
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui f'(x) representa a derivada de f em relação a x. A derivada mede a taxa de variação instantânea de f quando x muda um pouquinho.

Passo 3

Aplicando a definição de derivada diretamente em y=9x. Primeiro calcule y(x+h):
y(x+h)=9(x+h)=9x+9h.
Agora substituímos na fórmula do limite:
y'=\lim_{h\to0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(9x+9h)-9x}{h}.

Passo 4

Simplificando o numerador:
(9x+9h)-9x=9h,
então
y'=\lim_{h\to0}\frac{9h}{h}.
Desde que h\neq0 podemos cancelar h:
\frac{9h}{h}=9.
Logo o limite quando h\to0 de uma constante é a própria constante:
y'=\lim_{h\to0}9=9.

Passo 5

Interpretação e regra prática (útil para prova): a função y=9x é um múltiplo constante da função identidade x. Em geral, a regra do múltiplo constante diz que, para k constante,
\frac{d}{dx}\bigl(k\cdot f(x)\bigr)=k\cdot f'(x).
Como \dfrac{d}{dx}(x)=1, segue que \dfrac{d}{dx}(kx)=k. No nosso caso k=9, então \dfrac{d}{dx}(9x)=9.

Resposta

\displaystyle y'=9

Exercícios relacionados