Determine se são espaços vetoriais
O conjunto de todas as matrizes 2 times 2 da forma
(cc a & a+b a+b & b )

Passo 1

O enunciado pede para ver se o conjunto V de todas as matrizes 2×2 da forma
a & a+b[6pt]a+b & b
é um espaço vetorial (ou seja, um subespaço de M_{2×2}). Para isso, vamos usar o teste de subespaço: mostrar que V não está vazio (contém a matriz zero), é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Precisamos ver se a matriz zero pertence a V. Basta escolher a=0 e b=0. Assim:
0 & 0+0[4pt]0+0 & 0= 0 & 0[4pt]0 & 0,
que é a matriz zero em M_{2×2}. Logo, V contém o elemento neutro da adição.

Passo 3

Agora vamos conferir a soma. Seja
M1=a1 & a1+b1[4pt]a1+b1 & b1e M2=a2 & a2+b2[4pt]a2+b2 & b2
em V. Sua soma é
M1+M2=a1+a2 & (a1+b1)+(a2+b2)[6pt](a1+b1)+(a2+b2) & b1+b2
Se definirmos c=a_1+a_2 e d=b_1+b_2, isso fica
c & c+d[4pt]c+d & d,
que está de novo em V. Logo, V é fechado sob soma.

Passo 4

Por fim, confira a multiplicação escalar. Para escalar k∈ℝ e M∈V com parâmetros (a,b), temos
kM=ka & a+b[4pt]a+b & b= ka & k(a+b)[4pt]k(a+b) & kb= ka & ka+kb[4pt]ka+kb & kb
Se chamarmos a’=ka e b’=kb, isso é novamente da forma
a' & a'+b'[4pt]a'+b' & b',
então V é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Como V contém zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar, ele satisfaz o teste de subespaço de um espaço vetorial. Portanto V é um espaço vetorial (subespaço de M_{2×2}).

Resposta

Sim. O conjunto é um subespaço de M_{2×2} e, portanto, um espaço vetorial.

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