Determine se são espaços vetoriais
O conjunto de todas as matrizes
da forma
O conjunto de todas as matrizes
Passo 1
O enunciado pede para ver se o conjunto V de todas as matrizes 2×2 da forma
é um espaço vetorial (ou seja, um subespaço de M_{2×2}). Para isso, vamos usar o teste de subespaço: mostrar que V não está vazio (contém a matriz zero), é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Precisamos ver se a matriz zero pertence a V. Basta escolher a=0 e b=0. Assim:
que é a matriz zero em M_{2×2}. Logo, V contém o elemento neutro da adição.
Passo 3
Agora vamos conferir a soma. Seja
em V. Sua soma é
Se definirmos c=a_1+a_2 e d=b_1+b_2, isso fica
que está de novo em V. Logo, V é fechado sob soma.
Passo 4
Por fim, confira a multiplicação escalar. Para escalar k∈ℝ e M∈V com parâmetros (a,b), temos
Se chamarmos a’=ka e b’=kb, isso é novamente da forma
então V é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Como V contém zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar, ele satisfaz o teste de subespaço de um espaço vetorial. Portanto V é um espaço vetorial (subespaço de M_{2×2}).
Resposta
Sim. O conjunto é um subespaço de M_{2×2} e, portanto, um espaço vetorial.