Sejam E um espaço vetorial de dimensão 4 e E uma base de F. Sejam F um espaço vetorial de dimensão 3 e g: E F uma base de g(e1) & =2 f1-f2+3 f3 g(e2) & =-f1+2 f2 g(e3) & =f1+3 f2+5 f3 g(e4) & =5 f1-4 f2+6 f3 . Seja Im g uma transformação linear definida por :
dim(Im(g))
a. Para g, escrever g na base lx1 x2 x3 x4.
b. Achar uma base de H e calcular g(H).
c. é sobrejetora? é injetora?
d. Achar uma base de Kerg.
e. Seja e . Achar uma base de e achar .

Passo 1

A questão apresenta uma transformação linear g entre espaços vetoriais E (dimensão 4, base (e₁,e₂,e₃,e₄)) e F (dimensão 3, base (f₁,f₂,f₃)), dada pelas imagens de cada vetor da base de E. Vamos usar linearidade para expressar g em coordenadas, depois montar sua matriz, obter posto (rank) e núcleo (kernel), e finalmente trabalhar com o subespaço H.

Passo 2

Como g é linear, para x= x₁e₁ + x₂e₂ + x₃e₃ + x₄e₄ temos g(x) = x₁g(e₁) + x₂g(e₂) + x₃g(e₃) + x₄g(e₄). Substituindo as imagens fornecidas:
• g(e₁)=2f₁−f₂+3f₃
• g(e₂)=−f₁+2f₂
• g(e₃)=f₁+3f₂+5f₃
• g(e₄)=5f₁−4f₂+6f₃
Assim,
g(x)= (2x₁−x₂+x₃+5x₄)f₁ + (−x₁+2x₂+3x₃−4x₄)f₂ + (3x₁+5x₃+6x₄)f₃

Passo 3

Montamos então a matriz de g na base dada, cujas colunas são as coordenadas de g(e₁),…,g(e₄):
M= 2 & -1 & 1 & 5 -1 & 2 & 3 & -4 3 & 0 & 5 & 6 Para achar Im(g), buscamos colunas independentes. Verifica-se que colunas 3 e 4 são combinações lineares das duas primeiras, logo posto=2. Uma base de Im(g) é dadas pelas duas primeiras colunas, i.e. {2f₁−f₂+3f₃,
−f₁+2f₂} e dim(Im(g))=2.

Passo 4

Pelo Teorema da Dimensão (rank–nullity), dim Ker(g)=4−2=2, logo g não é injetora (ker≠{0}) e como dim Im(g)=2<3=dim F também não é sobrejetora.

Passo 5

Para Ker(g) resolvemos M·(x₁,x₂,x₃,x₄)ᵀ=0. O sistema linear é:
2x₁−x₂+x₃+5x₄=0 −x₁+2x₂+3x₃−4x₄=0 3x₁+5x₃+6x₄=0 Fazendo eliminação (por exemplo, expressando x₁ e x₂ em função de x₃,x₄) obtemos o espaço de soluções gerado por
(-5/3,-7/3,1,0) e (-2,1,0,1) Multiplicando o primeiro por 3 para evitar frações, uma base de Ker(g) é {(-5,-7,3,0),(-2,1,0,1)}.

Passo 6

O subespaço H é definido por x₁=x₂ e x₃=x₄. Logo todo vetor de H é (u,u,v,v)=u(1,1,0,0)+v(0,0,1,1). Uma base de H é {(1,1,0,0),(0,0,1,1)}. Aplicando g:
g(1,1,0,0)=g(e₁+e₂)=f₁+f₂+3f₃,
g(0,0,1,1)=g(e₃+e₄)=6f₁−f₂+11f₃
Logo g(H)=span{f₁+f₂+3f₃,;6f₁−f₂+11f₃}, que é de dimensão 2.

Passo 7

Resumo final dos resultados segue abaixo.

Resposta

a) Para x=(x₁,x₂,x₃,x₄),
g(x)=(2x₁−x₂+x₃+5x₄)f₁ + (−x₁+2x₂+3x₃−4x₄)f₂ + (3x₁+5x₃+6x₄)f₃
b) Base de Im(g): {2f₁−f₂+3f₃, ; −f₁+2f₂}, dim(Im(g))=2.
c) g não é sobrejetora (dim Im(g)=2<3) e não é injetora (dim Ker(g)=2>0).
d) Base de Ker(g): {(-5,−7,3,0), (-2,1,0,1)}.
e) Base de H: {(1,1,0,0), (0,0,1,1)}; e g(H)=span{f₁+f₂+3f₃,;6f₁−f₂+11f₃}.

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