Sejam E e F dois espaços vetoriais de dimensão finita e sejam f in L(E, F) e g in L(E, F). Provar que Im(f+g) subset Im f+Im g e provar que :
dim(Im(f+g)) <= dim(Im(f))+dim(Im(g))

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas coisas sobre os mapas lineares f,gin L(E,F): que Im(f+g) está contido em Im f+Im g e que dimIm(f+g)<=dimIm f+dimIm g. Vamos usar definições de imagem, soma de subespaços e fórmula de dimensão.

Passo 2

Primeiro, lembramos que
Im(f+g)=(f+g)(x):xin E e
Im f+Im g=u+v:uinIm f,,vinIm g
Tomando qualquer yinIm(f+g), existe xin E tal que
y=(f+g)(x)=f(x)+g(x)
Como f(x)inIm f e g(x)inIm g, concluímos que yinIm f+Im g. Logo
Im(f+g)subsetIm f+Im g

Passo 3

Agora, como Im(f+g) é subespaço de Im f+Im g, temos a desigualdade de dimensão de subespaços:
dimIm(f+g)<=dim(Im f+Im g)

Passo 4

Para qualquer par de subespaços U,V de um espaço vetorial, vale a fórmula
dim(U+V)=dim U+dim V-dim(Ucap V)
Como dim(Ucap V)>=0, obtemos
dim(U+V)<=dim U+dim V
Aplicando com U=Im f e V=Im g, fica
dim(Im f+Im g)<=dimIm f+dimIm g

Passo 5

Juntando as desigualdades
dimIm(f+g)<=dim(Im f+Im g)<=dimIm f+dimIm g, concluímos a segunda parte do enunciado.

Resposta

Im(f+g)subsetIm f+Im g e

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