Sejam
e
dois espaços vetoriais de dimensão finita e sejam
e
. Provar que
e provar que :
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas coisas sobre os mapas lineares
: que
está contido em
e que
. Vamos usar definições de imagem, soma de subespaços e fórmula de dimensão.
Passo 2
Primeiro, lembramos que
e
Tomando qualquer , existe
tal que
Tomando qualquer
Como
e
, concluímos que
. Logo
Passo 3
Agora, como
é subespaço de
, temos a desigualdade de dimensão de subespaços:
Passo 4
Para qualquer par de subespaços
de um espaço vetorial, vale a fórmula
Como
, obtemos
Aplicando com
e
, fica
Passo 5
Juntando as desigualdades
, concluímos a segunda parte do enunciado.