Determine se u, v e w são linearmente dependentes, sendo:
\mathrm{u}=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 1\end{array}\right], \mathrm{v}=\left[\begin{array}{cc}3 & -1 \\\\ 2 & 2\end{array}\right] e \mathrm{w}=\left[\begin{array}{cc}1 & -5 \\\\ -4 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes
\displaystyle u=\begin{pmatrix}1&2\\\ 3&1\end{pmatrix},\quad v=\begin{pmatrix}3&-1\\\ 2&2\end{pmatrix},\quad w=\begin{pmatrix}1&-5\\\ -4&0\end{pmatrix}
em M_{2}(\mathbb{R}) e pede para determinar se elas são linearmente dependentes. Pela definição, basta achar escalares (\alpha,\beta,\gamma)\neq(0,0,0) tais que
\alpha\,u+\beta\,v+\gamma\,w \;=\;0\,.

Passo 2

Observamos que
2\,u =2\begin{pmatrix}1&2\\\ 3&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&4\\\ 6&2\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad w=\begin{pmatrix}1&-5\\\ -4&0\end{pmatrix},
então
2u + w =\begin{pmatrix}2&4\\\ 6&2\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1&-5\\\ -4&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3&-1\\\ 2&2\end{pmatrix} =v.
Isto é,
v \;-\;2u\;-\;w \;=\;0.

Passo 3

Da relação
v - 2u - w = 0, concluímos que os escalares
\alpha = -2, \beta = 1, \gamma = -1
não são todos nulos e satisfazem
\alpha u + \beta v + \gamma w = 0. Logo, u, v e w são linearmente dependentes.

Resposta

u, v e w são linearmente dependentes, pois
v \;=\;2\,u + w.

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