Seja T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} uma transformagèio linear tal que T(1,1)=(0,1,2) e T(-1,0)=(2,1,4). Sendo assim, determine T(3,2).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e fornece os valores em dois vetores:
T(1,1) = (0,1,2), \quad T(-1,0) = (2,1,4).
Queremos usar a linearidade para determinar T(3,2), escrevendo (3,2) como combinação dos vetores (1,1) e (-1,0).

Passo 2

Verificamos que os vetores
v_1 = (1,1), \quad v_2 = (-1,0)
são linearmente independentes em \mathbb{R}^2, portanto qualquer vetor em \mathbb{R}^2, em particular (3,2), pode ser escrito como combinação linear de v_1 e v_2.

Passo 3

Procuramos escalares a\) e \(b\) tais que \[a\,(1,1) \;+\; b\,(-1,0) \;=\;(3,2).
Isso gera o sistema
\begin{cases} a - b = 3,\\\ a = 2. \end{cases}
Da segunda equação vem a=2\] e, na primeira, \(b = a - 3 = 2 - 3 = -1.

Passo 4

Pela linearidade de T, temos
T(3,2) = T\bigl(a\,(1,1) + b\,(-1,0)\bigr) = a\,T(1,1) + b\,T(-1,0).

Passo 5

Substituindo a=2, b=-1 e os valores conhecidos,
T(3,2) = 2\,(0,1,2) \;+\; (-1)\,(2,1,4) = (0,2,4) - (2,1,4) = (-2,1,0).

Resposta

(-2,1,0)

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