resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
3(1+t^2) d yd t=2 t y(y^3-1)

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
3(1+t^2),dydt=2t,y,(y^3-1)
É uma equação que pode ser resolvida por separação de variáveis, mas fica mais simples usando a substituição
u=y^3

Passo 2

Com u=y^3 temos
dudt=3y^2dydt
Substituindo dydt da EDO original,
dudt =3y^2cdot2t,y,(y^3-1)3(1+t^2) =2t,y^3(y^3-1)1+t^2 =2t,u,(u-1)1+t^2

Passo 3

Agora separamos variáveis em u e t:
duu(u-1)=2t1+t^2,dt

Passo 4

Integramos ambos os lados. Para a esquerda usamos frações parciais:
1u(u-1)=-1u+1u-1,
logo
integrall(-1u+1u-1r)du =integral2t1+t^2,dt ;Longrightarrow; -ln|u|+ln|u-1|=ln(1+t^2)+C

Passo 5

Reescrevendo
lnl|u-1ur|=ln(1+t^2)+C Longrightarrow u-1u=K,(1+t^2),
onde K=e^C é constante arbitrária. Voltando a y (com u=y^3),
y^3-1y^3=K,(1+t^2)

Passo 6

Isolando y^3:
1-1y^3=K(1+t^2) Longrightarrow 1y^3=1-K(1+t^2) Longrightarrow y^3=11-K(1+t^2)
Assim a solução geral fica
y(t)=gl[11-K(1+t^2)gr]^!1/3,
com K constante de integração.

Resposta

y(t)=[11-K(1+t^2)]^!1/3, K constante

Exercícios relacionados