Exercício 2 Resolva o problema de valor inicial
(a)
(b) Para quais valores de
a solução é crescente e para quais valores de
a solução é decrescente.
(c) Qual o limite de
quando
tende
. O limite depende de
?
(a)
(c) Qual o limite de
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o fator integrante para encontrar a solução geral e depois ajustar a constante com a condição inicial. Em seguida, analisamos a monotonicidade (parte b) e o limite quando
(parte c).
Passo 2
Calculamos o fator integrante
Multiplicando a equação original por
obtemos
Agora integramos de
a
.
Passo 3
Integrando,
Usando
e
, isolamos
:
Isto resolve a parte (a).
Passo 4
Para estudar onde
é crescente ou decrescente, usamos a própria equação diferencial:
Próximo de
, temos
, logo
Para
pequeno:
- Se
, então e , ou seja, inicia crescendo. - Se
, então e , ou seja, inicia decrescendo.
Passo 5
Para o limite quando
, note que o termo
\u00e9 dominado pela vizinhan\u00e7a de , enquanto
decai muito mais lentamente. Um c\u00e1lculo de an\u00e1lise assint\u00f3tica (ou Regra de L’H^opital em forma integral) mostra que
\u00e9 dominado pela vizinhan\u00e7a de
portanto
independente de
.
Resposta
(a)
(b) Para
a solução inicia crescendo; para
a solução inicia decrescendo.
(c)
e esse limite não depende de
.