Exercício 2 Resolva o problema de valor inicial
(a)
l y^prime+5 x^4 y=x^4 e^t^2+sen t y(0)=y0
(b) Para quais valores de y0 a solução é crescente e para quais valores de y0 a solução é decrescente.
(c) Qual o limite de y(x) quando x tende a+infty. O limite depende de y0 ?

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'(x) + 5x^4,y(x) = x^4e^,x^2 + sin x, y(0)=y0,
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o fator integrante para encontrar a solução geral e depois ajustar a constante com a condição inicial. Em seguida, analisamos a monotonicidade (parte b) e o limite quando x to +infty (parte c).

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral 5x^4,dxr) = e^,x^5
Multiplicando a equação original por mu(x) obtemos
e^x^5y' + 5x^4e^x^5y = x^4e^,x^2+sin x + x^5 ;Longrightarrow; ddxl(y,e^x^5r) = x^4e^,x^2+sin x + x^5
Agora integramos de 0 a x.

Passo 3

Integrando,
y(x),e^x^5 - y(0),e^0 = integral0^x s^4e^,s^2+sin s + s^5,ds
Usando y(0)=y0 e e^0=1, isolamos y(x):
y(x) = e^-x^5gl(y0 + integral0^x s^4e^,s^2+sin s + s^5,dsgr)
Isto resolve a parte (a).

Passo 4

Para estudar onde y é crescente ou decrescente, usamos a própria equação diferencial:
y'(x) = x^4e^,x^2+sin x - 5x^4y(x) = x^4l(e^,x^2+sin x - 5,y(x)r)
Próximo de x=0, temos y(x)approx y0, logo
y'(x)approx x^4l(1 - 5y0r)
Para x>0 pequeno:
  • Se y0 < tfrac15, então 1-5y0>0 e y'(x)>0, ou seja, y inicia crescendo.
  • Se y0 > tfrac15, então 1-5y0<0 e y'(x)<0, ou seja, y inicia decrescendo.

Passo 5

Para o limite quando xto+infty, note que o termo
integral0^x s^4e^,s^2+sin s + s^5,ds
\u00e9 dominado pela vizinhan\u00e7a de s=x, enquanto e^-x^5 decai muito mais lentamente. Um c\u00e1lculo de an\u00e1lise assint\u00f3tica (ou Regra de L’H^opital em forma integral) mostra que
y(x)sim 15,e^,x^2+sin x quando xto+infty,
portanto
limxto+inftyy(x)=+infty,
independente de y0.

Resposta

(a)
y(x) = e^-x^5gl(y0 + integral0^x s^4e^,s^2+sin s + s^5,dsgr)
(b) Para y0<tfrac15 a solução inicia crescendo; para y0>tfrac15 a solução inicia decrescendo.
(c) limxto+inftyy(x)=+infty, e esse limite não depende de y0.

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