Determine
e
satisfazendo
para concluir que a série dada é de encaixe e tem soma igual a
.
Passo 1
O enunciado pede pra achar constantes a e b na decomposição em frações parciais de
de modo que a série
vire uma soma telescópica cuja soma vale
. Vamos usar teoria de frações parciais e séries telescópicas.
Passo 2
Começamos escrevendo a decomposição e igualando denominadores:
Multiplicando por
, fica
Passo 3
Expandindo e coletando termos de
:
Isso gera o sistema
Resolvendo, obtemos
e
.
Passo 4
Com
e
em mãos, reescrevemos o termo geral:
Ao somar de
até
, a série telescopa:
Passo 5
Fazendo
, o termo
vai a zero. Logo
Assim a série encaixa e soma
.
Resposta
a = \tfrac12, b = -\tfrac12 e soma = \tfrac{1}{12}