Determine a e b satisfazendo
1(n+1)(n+2)(n+3)=a(n+1)(n+2)+b(n+2)(n+3)
para concluir que a série dada é de encaixe e tem soma igual a 1 / 12.

Passo 1

O enunciado pede pra achar constantes a e b na decomposição em frações parciais de 1(n+1)(n+2)(n+3) de modo que a série sumn=1^infty 1(n+1)(n+2)(n+3) vire uma soma telescópica cuja soma vale 1/12. Vamos usar teoria de frações parciais e séries telescópicas.

Passo 2

Começamos escrevendo a decomposição e igualando denominadores:
1(n+1)(n+2)(n+3) = a(n+1)(n+2) + b(n+2)(n+3)
Multiplicando por (n+1)(n+2)(n+3), fica
a(n+3) + b(n+1) = 1

Passo 3

Expandindo e coletando termos de n:
(a + b)n + (3a + b) = 0cdot n + 1
Isso gera o sistema
a + b = 0, 3a + b = 1
Resolvendo, obtemos a = tfrac12 e b = -tfrac12.

Passo 4

Com a e b em mãos, reescrevemos o termo geral:
1(n+1)(n+2)(n+3) = 12l(1(n+1)(n+2) - 1(n+2)(n+3)r)
Ao somar de n=1 até N, a série telescopa:
sumn=1^N 1(n+1)(n+2)(n+3) = 12l(12cdot3 - 1(N+2)(N+3)r)

Passo 5

Fazendo Ntoinfty, o termo 1/((N+2)(N+3)) vai a zero. Logo
sumn=1^infty 1(n+1)(n+2)(n+3) = 12 cdot 16 = 112
Assim a série encaixa e soma 1/12.

Resposta

a = \tfrac12, b = -\tfrac12 e soma = \tfrac{1}{12}

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