O somatório vale 81 / 11, pois
sum0^infty 2^n sen(n pi+pi2)3^2 n-2=2^03^-2+2^13^0(-1)+2^23^2+2^33^4(-1)+2^43^6+ldots=9+sum1^infty(-1)^n 2^n3^2 n-2
& =9+sum1^infty (-2)^n(3^2)^n-1=9+sum1^infty (-2)^n9^n-1=9+sum1^infty (-2)^n9^n / 9=9+sum1^infty 9 (-2)^n9^n & =9+sum1^infty 9(-29)^n=9+sum1^infty 9(-29) cdot(-29)^n-1=9+sum1^infty(-2) cdot(-29)^n-1 & =9+-21+2 / 9=9-1811=8111

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série infinita
S = sumn=0^infty 2^n,sen!l(npi + tfracpi2r)3^2n-2
O conteúdo principal envolve identificar uma forma geométrica e usar propriedades trigonométricas (deslocamento de seno) para transformar em uma soma de termos ar^n.

Passo 2

Usamos a identidade de soma de ângulos em seno:
sen!l(npi + tfracpi2r) = sen(npi)cos!tfracpi2 + cos(npi)sen!tfracpi2 = 0 + cos(npi)cdot1 = cos(npi) = (-1)^n
Logo o termo geral fica
2^n,sen(npi+tfracpi2)3^2n-2 = 2^n,(-1)^n3^2n-2 = (-2)^n3^2n-2

Passo 3

Reescrevemos o denominador para expor uma potência de 9:
3^2n-2 = 3^2n/3^2 = 9^n9
Assim
(-2)^n3^2n-2 = (-2)^n9^n/9 = 9;(-2)^n9^n = 9l(-tfrac29r)^!n

Passo 4

Portanto a série original se torna
S = sumn=0^infty9l(-tfrac29r)^!n = 9sumn=0^inftyl(-tfrac29r)^!n
Aqui reconhecemos uma série geométrica de razão
r = -tfrac29 e primeiro termo 1.

Passo 5

A soma de uma série geométrica é
sumn=0^inftyr^n = 11-r, desde que |r|<1
Como l|-2/9r|<1, vale
sumn=0^inftyl(-tfrac29r)^!n = 11 - l(-tfrac29r) = 11 + tfrac29 = 1tfrac119 = 911
Multiplicando por 9, obtemos
S = 9cdot911 = 8111

Resposta

8111

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