Nos exercícios 37. a 46., encontre a solução geral das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.
y^prime prime prime-5 y^prime prime+6 y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
y''' - 5y'' + 6y' = 0
O conteúdo aqui é usar o método do polinômio característico, que consiste em supor uma solução do tipo y=e^rx e obter uma equação para r.

Passo 2

Supondo y=e^rx, temos
y' = r e^rx, y'' = r^2 e^rx, y''' = r^3 e^rx
Substituindo na equação diferencial, todos os termos ficam proporcionais a e^rx, que nunca é zero. Logo obtemos o polinômio característico
r^3 - 5r^2 + 6r = 0

Passo 3

Para resolver
r^3 - 5r^2 + 6r = 0
fatoramos r em evidência:
r(r^2 - 5r + 6) = 0
O trinômio do segundo fator fatora ainda como
r^2 - 5r + 6 = (r - 2)(r - 3)
Portanto as raízes são
r = 0, r = 2, r = 3

Passo 4

Como as três raízes são distintas, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear dos modos e^rx correspondentes:
y(x) = C1 e^0cdot x + C2 e^2x + C3 e^3x
Como e^0cdot x=1, fica
y(x) = C1 + C2 e^2x + C3 e^3x,
onde C1, C2 e C3 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 + C2 e^2x + C3 e^3x

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