Determine as segeintes integrais indefindas.
\int \frac{x-7 x^{3}+2 x{4}}{x{4}} d x
\int \frac{x-7 x^{3}+2 x{4}}{x{4}} d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações importantes: trata-se de uma integral indefinida (logo deve aparecer uma constante de integração
) e a expressão envolve divisão por
, então
no domínio da função integranda.
Passo 2
Primeiro simplificamos a função dividindo termo a termo por
. Faço cada divisão explicitamente:
Agora simplifico as potências:
Portanto a integranda fica
Passo 3
Vou lembrar as regras de integração que vou usar:
- Regra da linearidade:
e para constante . - Regra da potência (para
): . Aqui é um número real e é a constante de integração. - Caso especial
: .
Explicando rápido: na regra da potência somamos 1 ao expoente e dividimos pelo novo expoente; não vale quando o novo expoente seria zero, por isso o caso
é tratado separadamente com logaritmo.
Passo 4
Aplico as regras termo a termo à integranda
.
- Para
: aqui , então
- Para
: uso a constante multiplicativa e o caso especial :
- Para
: é constante, então
Somando os três resultados (pela linearidade) e adicionando a constante de integração
, obtemos a antiderivada:
Passo 5
Para ficar com uma ordem mais usual (termo polinomial primeiro, depois log e termo racional), reescrevo:
Uma forma rápida de verificar é derivar esse resultado e checar que retorna
— se quiser, faço a checagem.
Passo 6
Derivando
:
que é exatamente a integranda
. Está confirmado.