Determine as segeintes integrais indefindas.
\int \frac{x-7 x^{3}+2 x{4}}{x{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x-7x^{3}+2x^{4}}{x^{4}}\,dx.
Informações importantes: trata-se de uma integral indefinida (logo deve aparecer uma constante de integração C) e a expressão envolve divisão por x^{4}, então x\neq0 no domínio da função integranda.

Passo 2

Primeiro simplificamos a função dividindo termo a termo por x^{4}. Faço cada divisão explicitamente:
\frac{x-7x^{3}+2x^{4}}{x^{4}}=\frac{x}{x^{4}}-7\frac{x^{3}}{x^{4}}+2\frac{x^{4}}{x^{4}}.
Agora simplifico as potências:
\frac{x}{x^{4}}=x^{1-4}=x^{-3},\qquad \frac{x^{3}}{x^{4}}=x^{3-4}=x^{-1},\qquad \frac{x^{4}}{x^{4}}=1.
Portanto a integranda fica
x^{-3}-7x^{-1}+2.

Passo 3

Vou lembrar as regras de integração que vou usar:
  • Regra da linearidade: \displaystyle \int (f+g)\,dx=\int f\,dx+\int g\,dx e \displaystyle \int a\cdot f\,dx=a\int f\,dx para constante a.
  • Regra da potência (para n\neq-1): \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C. Aqui n é um número real e C é a constante de integração.
  • Caso especial n=-1: \displaystyle \int x^{-1}\,dx=\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.
Explicando rápido: na regra da potência somamos 1 ao expoente e dividimos pelo novo expoente; não vale quando o novo expoente seria zero, por isso o caso x^{-1} é tratado separadamente com logaritmo.

Passo 4

Aplico as regras termo a termo à integranda x^{-3}-7x^{-1}+2.
  1. Para x^{-3}: aqui n=-3\neq-1, então
\int x^{-3}\,dx=\frac{x^{-3+1}}{-3+1}=\frac{x^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2}x^{-2}=-\frac{1}{2x^{2}}.
  1. Para -7x^{-1}: uso a constante multiplicativa e o caso especial n=-1:
\int -7x^{-1}\,dx=-7\int x^{-1}\,dx=-7\ln|x|.
  1. Para 2: é constante, então
\int 2\,dx=2x.
Somando os três resultados (pela linearidade) e adicionando a constante de integração C, obtemos a antiderivada:
-\frac{1}{2x^{2}}-7\ln|x|+2x+C.

Passo 5

Para ficar com uma ordem mais usual (termo polinomial primeiro, depois log e termo racional), reescrevo:
2x-7\ln|x|-\frac{1}{2x^{2}}+C.
Uma forma rápida de verificar é derivar esse resultado e checar que retorna x^{-3}-7x^{-1}+2 — se quiser, faço a checagem.

Passo 6

Derivando \displaystyle F(x)=2x-7\ln|x|-\frac{1}{2x^{2}}:
F'(x)=2-\frac{7}{x}-\left(-\frac{1}{2}\cdot 2 x^{-3}\right)=2-7x^{-1}+x^{-3},
que é exatamente a integranda x^{-3}-7x^{-1}+2. Está confirmado.

Resposta

2x-7\ln|x|-\frac{1}{2x^{2}}+C

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