Determine as seguentes integrais indefindas
Passo 1
O enunciado fornece a integral indefinida
e pede que se determine (calcule) essa integral. Ou seja, encontrar uma primitiva (família de primitivas) da função
.
Passo 2
Relembrando duas regras fundamentais que vou usar (explicadas de forma bem simples):
- Regra da linearidade: a integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes podem ser puxadas para fora da integral. Em fórmulas:
onde
é constante.
- Regra da potência (power rule) para integrais: para qualquer número real
,
onde
é a constante de integração. Isso vem da regra da derivada invertida: quando derivamos
obtemos
.
Essas duas regras são o suficiente para integrar um polinômio termo a termo.
Passo 3
Aplicando a linearidade, separo a integral em três integrais simples:
Passo 4
Integrando o primeiro termo
usando a regra da potência com
:
Expliquei passo a passo: eleva-se o expoente em uma unidade e divide-se por esse novo expoente.
Passo 5
Integrando o segundo termo
. Primeiro puxo a constante
para fora da integral (regra da linearidade):
Agora uso a regra da potência com
:
Portanto
Passo 6
Integrando o terceiro termo
. Aqui a função constante
tem primitiva
, porque a derivada de
é
. Logo:
Passo 7
Somando os resultados parciais e acrescentando a constante de integração
:
Passo 8
Verificação rápida (checo diferenciando a primitiva para ver se volto ao integrando). Derivando termo a termo:
Somando obtemos
, que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.