Determine as seguentes integrais indefindas
\int x^{2}+3 x+1 d x

Passo 1

O enunciado fornece a integral indefinida
\int x^{2}+3 x+1\,dx
e pede que se determine (calcule) essa integral. Ou seja, encontrar uma primitiva (família de primitivas) da função x^{2}+3x+1.

Passo 2

Relembrando duas regras fundamentais que vou usar (explicadas de forma bem simples):
  • Regra da linearidade: a integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes podem ser puxadas para fora da integral. Em fórmulas:
\int \big(f(x)+g(x)\big)\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx, \qquad \int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx,
onde a é constante.
  • Regra da potência (power rule) para integrais: para qualquer número real n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Isso vem da regra da derivada invertida: quando derivamos \dfrac{x^{n+1}}{n+1} obtemos x^n.
Essas duas regras são o suficiente para integrar um polinômio termo a termo.

Passo 3

Aplicando a linearidade, separo a integral em três integrais simples:
\int x^{2}+3x+1\,dx = \int x^{2}\,dx + \int 3x\,dx + \int 1\,dx.

Passo 4

Integrando o primeiro termo \int x^{2}\,dx usando a regra da potência com n=2:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^{3}}{3}.
Expliquei passo a passo: eleva-se o expoente em uma unidade e divide-se por esse novo expoente.

Passo 5

Integrando o segundo termo \int 3x\,dx. Primeiro puxo a constante 3 para fora da integral (regra da linearidade):
\int 3x\,dx = 3\int x\,dx.
Agora uso a regra da potência com n=1:
\int x\,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^{2}}{2}.
Portanto
3\int x\,dx = 3\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{3x^{2}}{2}.

Passo 6

Integrando o terceiro termo \int 1\,dx. Aqui a função constante 1 tem primitiva x, porque a derivada de x é 1. Logo:
\int 1\,dx = x.

Passo 7

Somando os resultados parciais e acrescentando a constante de integração C:
\int x^{2}+3x+1\,dx = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3x^{2}}{2} + x + C.

Passo 8

Verificação rápida (checo diferenciando a primitiva para ver se volto ao integrando). Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{3}}{3}\right)=x^{2},\qquad \frac{d}{dx}\!\left(\frac{3x^{2}}{2}\right)=3x,\qquad \frac{d}{dx}(x)=1.
Somando obtemos x^{2}+3x+1, que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{3}}{3}+\frac{3x^{2}}{2}+x+C

Exercícios relacionados