Determine as seguentes integrais indefindas
\int \frac{2 x^{3}-x^{2}-2}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{2 x^{3}-x^{2}-2}{x^{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \dfrac{2 x^{3}-x^{2}-2}{x^{2}}.
  • Deve-se encontrar uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função cuja derivada seja essa integranda, mais a constante de integração.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão dividindo cada termo do numerador por x^{2}. Isso é álgebra básica de frações: \dfrac{a+b+c}{d}=\dfrac{a}{d}+\dfrac{b}{d}+\dfrac{c}{d}. Aplicando:
\frac{2 x^{3}}{x^{2}}=2x,\qquad \frac{-x^{2}}{x^{2}}=-1,\qquad \frac{-2}{x^{2}}=-2x^{-2}.
Portanto a integranda fica
\frac{2 x^{3}-x^{2}-2}{x^{2}} = 2x - 1 - 2x^{-2}.

Passo 3

Usamos agora a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais e constantes saem da integral. Em fórmulas:
\int (a f(x) + b g(x))\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Aplicando ao nosso caso:
\int (2x - 1 - 2x^{-2})\,dx = \int 2x\,dx - \int 1\,dx - \int 2x^{-2}\,dx.

Passo 4

Usamos a regra da potência para integrais: para \,n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
(Lembrete: o caso n=-1 \int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C, mas não precisaremos desse caso aqui.)
Integramos cada termo separadamente:
  • \displaystyle \int 2x\,dx = 2\int x\,dx = 2\cdot\frac{x^{2}}{2} = x^{2}.
  • \displaystyle \int 1\,dx = x. Então -\int 1\,dx = -x.
  • \displaystyle \int 2x^{-2}\,dx = 2\int x^{-2}\,dx = 2\cdot\frac{x^{-1}}{-1} = -2x^{-1}. Como no integrando estava -\int 2x^{-2}\,dx, temos -\bigl(2\int x^{-2}\,dx\bigr) = -(-2x^{-1}) = 2x^{-1}.

Passo 5

Somando as primitivas parciais e acrescentando a constante de integração obtemos a primitiva geral da integranda. (A resposta final está na seção abaixo.)

Resposta

x^{2}-x+\dfrac{2}{x}+C

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