Exercício 9. Ache as coordenadas de \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} com relação à base \mathcal{B} (do exercício 1) e mostre que não são paralelos. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \mathcal{C}=(\overrightarrow{H L}, \overrightarrow{H N}).
\overrightarrow{A B}

Passo 1

O enunciado pede o seguinte:
  • Achar as coordenadas de \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} com respeito à base \mathcal{B} (que foi dada no exercício 1).
  • Mostrar que \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} não são paralelos.
  • Determinar as coordenadas de \overrightarrow{A B} com respeito à base \mathcal{C}=(\overrightarrow{H L},\overrightarrow{H N}).
Informações que o enunciado deveria fornecer (mas que não foram incluídas na sua mensagem):
  • As coordenadas dos pontos H,L,N,A,B no sistema de referência usado (por exemplo, coordenadas cartesianas em \mathbb{R}^2 ou \mathbb{R}^3), ou diretamente as coordenadas de \overrightarrow{HL},\overrightarrow{HN},\overrightarrow{AB} em alguma base.
  • A base \mathcal{B} (do exercício 1): quais são os vetores que compõem \mathcal{B} e em que coordenadas esses vetores estão.
Como essas informações não foram fornecidas, não é possível calcular numericamente as coordenadas pedidas nem concluir sobre paralelismo para o caso específico do exercício. Abaixo eu explico passo a passo, de forma didática e com exemplos, como proceder assim que essas informações estiverem disponíveis — isto é, ensino o método completo que você deve aplicar na prova.

Passo 2

Como obter \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} a partir das coordenadas dos pontos:
  • Se forem dadas as coordenadas dos pontos no mesmo sistema (por exemplo, H=(x_H,y_H), L=(x_L,y_L) em \mathbb{R}^2), o vetor \overrightarrow{H L} é a diferença coordenada a coordenada:
\overrightarrow{H L}=L-H=(x_L-x_H,\;y_L-y_H).
  • Analogamente,
\overrightarrow{H N}=N-H=(x_N-x_H,\;y_N-y_H).
Explicando passo a passo: subtrai-se as componentes do ponto inicial H das componentes do ponto final L ou N. Isso gera o vetor “deslocamento” de H para cada outro ponto.

Passo 3

Como expressar um vetor em relação à base \mathcal{B}:
  • Suponha que \mathcal{B}=(\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\dots,\mathbf{b}_n) é uma base do espaço (cada \mathbf{b}_i dado em coordenadas no mesmo sistema usado para \overrightarrow{HL}). Para encontrar as coordenadas de um vetor \mathbf{v} nessa base, procuramos escalares c_1,\dots,c_n tais que
\mathbf{v}=c_1\mathbf{b}_1+c_2\mathbf{b}_2+\dots+c_n\mathbf{b}_n.
  • Em forma matricial: se montarmos a matriz B=[\mathbf{b}_1\\ \mathbf{b}_2\\ \cdots\\ \mathbf{b}_n] (colunas são os vetores da base) e o vetor coluna [\mathbf{v}] com as coordenadas de \mathbf{v} no sistema padrão, então
B \begin{pmatrix}c_1\\\ \vdots\\\ c_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\text{coordenadas de }\mathbf{v}\end{pmatrix}.
  • Para encontrar o vetor coluna (c_1,\dots,c_n)^T resolve-se este sistema linear. Se \mathcal{B} for base, B é invertível e
\begin{pmatrix}c_1\\\ \vdots\\\ c_n\end{pmatrix}=B^{-1}\begin{pmatrix}\text{coordenadas de }\mathbf{v}\end{pmatrix}.
Didática sobre o que significa cada símbolo: B é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores da base \mathcal{B} no sistema padrão; c_i são as coordenadas de \mathbf{v} na base \mathcal{B}.

Passo 4

Exemplo prático (mini-aula com números) — como referência para fazer na prova:
  • Suponha que trabalhemos em \mathbb{R}^2, H=(1,2), L=(4,5), N=(2,3) e que a base \mathcal{B} seja a base canônica (\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2) com \mathbf{e}_1=(1,0), \mathbf{e}_2=(0,1).
  • Então
\overrightarrow{H L}=(4-1,\;5-2)=(3,3), \qquad \overrightarrow{H N}=(2-1,\;3-2)=(1,1).
  • Para representar \overrightarrow{HL} na base canônica, as coordenadas são simplesmente (3,3) (porque a matriz B é identidade). No caso de uma \mathcal{B} não canônica, montaria-se B e resolver-se-ia B(c_1,c_2)^T=(3,3)^T.
Este exemplo é só para ilustrar o procedimento passo a passo: calcular diferença de pontos, depois resolver o sistema para obter coordenadas na base desejada.

Passo 5

Como mostrar que \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} não são paralelos (critério prático):
  • Em coordenadas (na mesma base), digamos que as coordenadas de \overrightarrow{H L} sejam u=(u_1,\dots,u_n) e de \overrightarrow{H N} sejam v=(v_1,\dots,v_n). Eles são paralelos se, e somente se, existe \lambda\in\mathbb{R} tal que
u=\lambda v.
Isto significa que todas as componentes satisfazem u_i=\lambda v_i.
  • Em \mathbb{R}^2 existe um teste simples via determinante: se montarmos a matriz [u\\ v] (colunas u e v), então
\det([u\\ v]) \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad u \text{ e } v \text{ não são paralelos}.ãã
  • Em \mathbb{R}^3 pode-se usar o produto vetorial: u e v não são paralelos se, e somente se, u\times v\neq 0.
  • Em geral, não-paralelismo equivale a linearmente independentes; para dois vetores, isso quer dizer que a única solução de a u + b v = 0 é a=b=0.
Portanto, depois de obter as coordenadas de \overrightarrow{HL} e \overrightarrow{HN} numa mesma base, aplique o teste de proporcionalidade (ou o determinante em 2D, produto vetorial em 3D).

Passo 6

Como achar as coordenadas de \overrightarrow{A B} na base \mathcal{C}=(\overrightarrow{H L},\overrightarrow{H N}):
  • A base \mathcal{C} tem justamente os vetores \mathbf{c}_1=\overrightarrow{H L} e \mathbf{c}_2=\overrightarrow{H N}. Queremos encontrar escalares \alpha,\beta tais que
\overrightarrow{A B}=\alpha\,\overrightarrow{H L}+\beta\,\overrightarrow{H N}.
  • Em coordenadas padrão, se escrevermos as colunas
M=[\overrightarrow{H L}\\ \\ \overrightarrow{H N}], \qquad \text{e} \qquad \text{col}(\overrightarrow{A B})=\begin{pmatrix}\text{coordenadas de }\overrightarrow{A B}\end{pmatrix},
então resolvemos o sistema linear
M\begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\text{coordenadas de }\overrightarrow{A B}\end{pmatrix}.
  • Se \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} não são paralelos (logo M é invertível em \mathbb{R}^2), então
\begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\end{pmatrix} = M^{-1} \begin{pmatrix}\text{coordenadas de }\overrightarrow{A B}\end{pmatrix}.
  • Em \mathbb{R}^2 há fórmula explícita para M^{-1} quando
M=\begin{pmatrix}a&c\\\ b&d\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad M^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-c\\\\ -b&a\end{pmatrix},
desde que ad-bc\neq 0. Assim obtém-se \alpha,\beta de forma direta com operações que dá pra fazer à mão na prova.]

Passo 7

Resumo prático do que você deve fazer na prova (checklist passo a passo):
  1. Obtenha \overrightarrow{H L}=L-H e \overrightarrow{H N}=N-H usando coordenadas dos pontos.
  2. Expresse esses vetores no mesmo sistema de coordenadas usado pela base \mathcal{B}.
  3. Para cada vetor, resolva B\mathbf{c}=\text{coordenadas do vetor} para encontrar suas coordenadas em \mathcal{B}.
  4. Teste paralelismo: verifique se uma coordenada é múltiplo escalar da outra (ou use determinante/produto vetorial conforme a dimensão).
  5. Para \overrightarrow{A B}, calcule suas coordenadas padrão (como B-A), depois resolva M(\alpha,\beta)^T=\text{coordenadas de }\overrightarrow{A B}, onde M=[\overrightarrow{H L}\\ \overrightarrow{H N}].
  6. Se quiser acelerar na prova, em \mathbb{R}^2 use as fórmulas fechadas para inversa de 2\times2 e determinante para o teste de paralelismo.

Resposta

Não é possível fornecer as coordenadas numéricas de \overrightarrow{H L}, \overrightarrow{H N} nem de \overrightarrow{A B} nem concluir sobre o paralelismo, porque faltam as coordenadas dos pontos H,L,N,A,B e a descrição da base \mathcal{B} (informações do exercício 1).

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