Determine se o seguinte conjunto é um subespaço vetorial de do espaço vetorial V=R^2
W=(x, y) in R^2 / y=4-2 x

Passo 1

Vamos ver o que a questão tá pedindo. Temos o conjunto W = (x, y) in R^2 | y = 4 - 2x e queremos descobrir se ele é um subespaço vetorial do espaço V = R^2 . Para isso, vamos precisar entender o que caracteriza um subespaço vetorial.

Passo 2

Um subespaço vetorial precisa satisfazer três condições básicas:
  1. Contém o vetor zero: O vetor (0,0) deve estar em W .
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores em W e somar, o resultado também deve estar em W .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor em W e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar em W .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto W .

Passo 3

Primeiro, vamos checar se o vetor zero está em W . O vetor zero é (0,0). Substituindo x = 0 na equação y = 4 - 2x , temos:
y = 4 - 2(0) = 4
Então, o vetor correspondente seria (0, 4), que não é igual a (0,0). Como o vetor zero não está em W , já podemos concluir que W não é um subespaço vetorial.

Resposta

O conjunto W não contém o vetor zero, portanto ele não é um subespaço vetorial de R^2 .

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