Seja alpha o plano de equação x+2y-2z+7=0, beta o plano de equação x+2y-2z-5=0, r1 a reta cuja equação vetorial paramétrica é (x, y, z)=(1,1,5)+(2,-3,-2)t, e r2 a reta cujas equações simétricas são x-5-4=y-13=z-11. Com base nessas informações responda se são verdadeiras ou falsas as seguintes sentenças: As retas r1 e r2 são reversas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar se as retas r1 e r2 são reversas, ou seja, se elas são retas que não se intersectam e não são paralelas. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, como equações de retas e planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das retas:
  • Reta r1 : Está na forma paramétrica (x, y, z) = (1,1,5) + t(2, -3, -2) . Isso significa que o ponto inicial é (1,1,5) e o vetor diretor é v1 = (2, -3, -2) .
  • Reta r2 : Está na forma simétrica x-54 = y-131 = z-11 . Podemos reescrever isso na forma paramétrica como (x, y, z) = (5, 13, 11) + s(4,1,1) . Aqui, o ponto inicial é (5,13,11) e o vetor diretor é v2 = (4,1,1) .

Passo 3

Para determinar se as retas são reversas, precisamos verificar duas coisas:
  1. Paralelismo: As retas são paralelas se os vetores diretores forem proporcionais. Vamos comparar v1 e v2 :
v1 = (2, -3, -2) e v2 = (4, 1, 1)
Não existe um escalar k tal que 2k = 4 , -3k = 1 e -2k = 1 ao mesmo tempo. Portanto, as retas não são paralelas.

Passo 4

  1. Interseção: Agora, vamos verificar se as retas se intersectam. Para isso, igualamos as equações paramétricas:
1 + 2t = 5 + 4s 1 - 3t = 13 + s 5 - 2t = 11 + s
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
2t - 4s = 4 Rightarrow t - 2s = 2 (Equação A) çã
Da segunda equação:
-3t - s = 12 Rightarrow 3t + s = -12 (Equação B) çã
Usando a Equação A para isolar t :
t = 2s + 2
Substituindo na Equação B:
3(2s + 2) + s = -12 6s + 6 + s = -12 7s = -18 s = -187
Agora, encontramos t :
t = 2(-187) + 2 = -367 + 147 = -227
Finalmente, verificamos na terceira equação:
5 - 2(-227) = 11 + (-187) 5 + 447 = 11 - 187 357 + 447 = 777 - 187 797 neq 597
Como não há solução que satisfaça todas as equações simultaneamente, as retas não se intersectam.

Resposta

Sim, as retas r1 e r2 são reversas.

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