Seja o plano de equação , o plano de equação , a reta cuja equação vetorial paramétrica é , e a reta cujas equações simétricas são . Com base nessas informações responda se são verdadeiras ou falsas as seguintes sentenças: As retas e são reversas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar se as retas e são reversas, ou seja, se elas são retas que não se intersectam e não são paralelas. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, como equações de retas e planos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações das retas:
Reta : Está na forma paramétrica . Isso significa que o ponto inicial é e o vetor diretor é .
Reta : Está na forma simétrica . Podemos reescrever isso na forma paramétrica como . Aqui, o ponto inicial é e o vetor diretor é .
Passo 3
Para determinar se as retas são reversas, precisamos verificar duas coisas:
Paralelismo: As retas são paralelas se os vetores diretores forem proporcionais. Vamos comparar e :
Não existe um escalar tal que , e ao mesmo tempo. Portanto, as retas não são paralelas.
Passo 4
Interseção: Agora, vamos verificar se as retas se intersectam. Para isso, igualamos as equações paramétricas:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
2t - 4s = 4 Rightarrow t - 2s = 2 (Equação A) çã
Da segunda equação:
-3t - s = 12 Rightarrow 3t + s = -12 (Equação B) çã
Usando a Equação A para isolar t :
t = 2s + 2
Substituindo na Equação B:
3(2s + 2) + s = -12 6s + 6 + s = -12 7s = -18 s = -187