Determine se a seguinte forma quadrática é negativa definida.
Q=-x1^2-3 x2^2-11 x3^2+2 x1 x2-4 x2 x3-2 x1 x3

Passo 1

O enunciado dá a forma quadrática
Q=-x1^2-3 x2^2-11 x3^2+2 x1x2-4 x2x3-2 x1x3
e pede para verificar se ela é negativa definida. O conteúdo aqui é critério de Sylvester para formas quadráticas: vamos montar a matriz simétrica associada a Q e calcular seus menores principais.

Passo 2

Escrevendo Q como Q=x^T A,x com x=(x1,x2,x3)^T, obtemos
A = -1 & 1 & -1 1 & -3 & -2 -1 & -2 & -11 ,
pois o termo 2x1x2 A12=A21=1, o termo -4x2x3 A23=A32=-2 e -2x1x3 A13=A31=-1.

Passo 3

Calculamos os menores principais crescentes:
D1 = detl([-1]r) = -1,
D2 = det-1 & 1 [4pt] 1 & -3 = (-1)(-3) - 1 cdot 1 = 3 - 1 = 2 ]

Passo 4

Agora o menor de ordem 3, isto é det(A). Usando expansão por cofatores na primeira linha:
D3=det(A) =-1cdotdet-3&-2-2&-11 -1cdotdet1&-2-1&-11 -1cdotdet1&-3-1&-2
Calculando cada um:
det-3&-2-2&-11=33-4=29, det1&-2-1&-11=-11-2=-13,
det1&-3-1&-2=-2-3=-5
Logo
D3 = -1cdot29 -1cdot(-13) -1cdot(-5) = -29 +13 +5 = -11

Passo 5

Para uma forma ser negativa definida, os menores principais devem satisfazer
D1<0, D2>0, D3<0
Aqui temos ,D1=-1<0, D2=2>0 e D3=-11<0. Portanto, os sinais alternam corretamente e Q é negativa definida.

Resposta

A forma quadrática é negativa definida.

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