Esboce a região R delimitada pelas curvas y^2-x^2=1 e y=2. Determine apenas as integrais que representam o volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno do eixo x utilizando o Método dos discos e o Método das Cascas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçar a região R delimitada pelas curvas y^2 - x^2 = 1 e y = 2 , e depois determinar as integrais que representam o volume do sólido formado ao girar essa região em torno do eixo x usando o Método dos Discos e o Método das Cascas. Vamos precisar entender essas curvas e como aplicar esses métodos de integração para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas. A equação y^2 - x^2 = 1 representa uma hipérbole. Essa hipérbole tem duas partes, uma para y > 0 e outra para y < 0 . Já a reta y = 2 é uma linha horizontal que corta a hipérbole.
Para encontrar onde essas duas curvas se interceptam, substituímos y = 2 na equação da hipérbole:
2^2 - x^2 = 1 Rightarrow 4 - x^2 = 1 Rightarrow x^2 = 3 Rightarrow x = pmraiz3
Então, os pontos de interseção são (raiz3, 2) e (-raiz3, 2) . Isso nos dá os limites de x para a região R , que vai de -raiz3 a raiz3 .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Método dos Discos para encontrar a integral que representa o volume quando giramos a região R em torno do eixo x . Nesse método, consideramos discos de espessura dx e com raio igual ao valor de y na curva superior menos o y na curva inferior.
Aqui, a curva superior é y = 2 e a inferior é dada pela hipérbole y = raizx^2 + 1 (a parte superior da hipérbole). Então, o raio do disco é 2 - raizx^2 + 1 .
A integral do volume usando o Método dos Discos fica:
V = pi integral-raiz3^raiz3 [2^2 - (raizx^2 + 1)^2] , dx
Simplificando dentro da integral:
V = pi integral-raiz3^raiz3 (4 - (x^2 + 1)) , dx = pi integral-raiz3^raiz3 (3 - x^2) , dx

Passo 4

Agora, vamos usar o Método das Cascas. Nesse método, consideramos cilindros com altura igual à distância entre as curvas e raio igual à distância até o eixo de rotação.
Aqui, vamos integrar em relação a y . Primeiro, resolvemos a equação da hipérbole para x :
y^2 - x^2 = 1 Rightarrow x = raizy^2 - 1
A altura da casca é 2x = 2raizy^2 - 1 , e o raio é y .
Então, a integral do volume usando o Método das Cascas fica:
V = 2pi integral1^2 y cdot 2raizy^2 - 1 , dy = 4pi integral1^2 yraizy^2 - 1 , dy

Resposta

As integrais que representam o volume do sólido são:
Método dos Discos:
V = pi integral-raiz3^raiz3 (4 - (x^2 + 1)) dx = pi integral-raiz3^raiz3 (3 - x^2) , dx
Método das Cascas:
V = 4pi integral1^2 yraizy^2 - 1 , dy

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