Esboce a região
delimitada pelas curvas
e
. Determine apenas as integrais que representam o volume do sólido gerado pela rotação da região
em torno do eixo x utilizando o Método dos discos e o Método das Cascas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçar a região
delimitada pelas curvas
e
, e depois determinar as integrais que representam o volume do sólido formado ao girar essa região em torno do eixo
usando o Método dos Discos e o Método das Cascas. Vamos precisar entender essas curvas e como aplicar esses métodos de integração para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas. A equação
representa uma hipérbole. Essa hipérbole tem duas partes, uma para
e outra para
. Já a reta
é uma linha horizontal que corta a hipérbole.
Para encontrar onde essas duas curvas se interceptam, substituímos
na equação da hipérbole:
Então, os pontos de interseção são
e
. Isso nos dá os limites de
para a região
, que vai de
a
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Método dos Discos para encontrar a integral que representa o volume quando giramos a região
em torno do eixo
. Nesse método, consideramos discos de espessura
e com raio igual ao valor de
na curva superior menos o
na curva inferior.
Aqui, a curva superior é
e a inferior é dada pela hipérbole
(a parte superior da hipérbole). Então, o raio do disco é
.
A integral do volume usando o Método dos Discos fica:
Simplificando dentro da integral:
Passo 4
Agora, vamos usar o Método das Cascas. Nesse método, consideramos cilindros com altura igual à distância entre as curvas e raio igual à distância até o eixo de rotação.
Aqui, vamos integrar em relação a
. Primeiro, resolvemos a equação da hipérbole para
:
A altura da casca é
, e o raio é
.
Então, a integral do volume usando o Método das Cascas fica:
Resposta
As integrais que representam o volume do sólido são:
• Método dos Discos:
• Método das Cascas: