Determine os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{7 x^{2}+x+11}{4-x}

Passo 1

O enunciado pede o limite no infinito da função racional abaixo:
\lim_{x\to\infty} \frac{7x^{2}+x+11}{4-x}.
Informações dadas:
  • Numerador: 7x^{2}+x+11.
  • Denominador: 4-x.
  • Queremos o comportamento quando x cresce sem limite ( x\to\infty).

Passo 2

Vou explicar duas ideias que ajudam a decidir o limite de uma função racional e que servem para a prova:
  1. Regra dos graus: se o numerador tem grau n e o denominador grau m,
    • se n<m então o limite é 0;
    • se n=m então o limite é a razão dos coeficientes líderes;
    • se n>m então a função tende a \pm\infty e o sinal depende dos coeficientes líderes e da diferença n-m.
      Aqui o numerador tem grau 2 e o denominador tem grau 1, logo n>m e o limite será divergente (infinito positivo ou negativo).
  2. Para saber o sinal (positivo/negativo) e a ordem de crescimento é conveniente fazer divisão polinomial ou aproximar pelos termos líderes.

Passo 3

Vou fazer a divisão polinomial passo a passo porque isso mostra claramente o comportamento dominante para x grande.
Dividir 7x^{2}+x+11 por 4-x.
Primeiro, observe que o termo de maior grau do divisor é -x (pois 4-x = -x+4). Procede-se assim:
  1. Dividendo o termo líder 7x^{2} pelo termo líder do divisor -x obtém-se o primeiro termo do quociente:
\frac{7x^{2}}{-x} = -7x.
  1. Multiplica-se o divisor por -7x:
-7x\cdot(4-x) = -7x\cdot4 + -7x\cdot(-x) = -28x + 7x^{2}.
  1. Subtrai-se esse produto do numerador:
(7x^{2}+x+11) - (7x^{2}-28x) = 7x^{2}+x+11 -7x^{2}+28x = 29x+11.
(O passo acima cancelou 7x^{2} e somou x+28x.)
  1. Agora divide-se 29x pelo termo líder do divisor -x:
\frac{29x}{-x} = -29.
  1. Multiplica-se o divisor por -29:
-29\cdot(4-x) = -116 + 29x.
  1. Subtrai-se esse produto do resto 29x+11:
(29x+11) - (29x-116) = 29x+11-29x+116 = 127.
Portanto a divisão fornece quociente e resto:
\frac{7x^{2}+x+11}{4-x} = -7x -29 + \frac{127}{4-x}.

Passo 4

Agora analisamos cada termo quando x\to\infty.
  • O termo -7x tende a -\infty quando x\to\infty, porque multiplica x por -7.
  • O termo constante -29 permanece -29.
  • O termo \dfrac{127}{4-x} tende a 0 quando x\to\infty, porque o denominador cresce em módulo (especificamente 4-x\to -\infty), então a fração tende a 0. Note que 4-x é negativo para x>4, então essa fração tende a 0 por valores negativos, mas o seu limite é 0.

Passo 5

Somando os comportamentos:
-7x -29 + \frac{127}{4-x} \longrightarrow -\infty -29 + 0 = -\infty.
Assim a expressão inteira diverge para menos infinito.

Passo 6

Para reforçar com a ideia dos termos líderes (método mais rápido para prova): quando x é grande, os termos de maior grau dominam, então
\frac{7x^{2}+x+11}{4-x} \sim \frac{7x^{2}}{-x} = -7x,
e -7x\to -\infty quando x\to\infty. Isso confirma o resultado obtido pela divisão.

Resposta

-\infty

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