Determine os seguintes limites no infinito:
Passo 1
O enunciado pede o limite no infinito da função racional abaixo:
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Queremos o comportamento quando
cresce sem limite ( ).
Passo 2
Vou explicar duas ideias que ajudam a decidir o limite de uma função racional e que servem para a prova:
- Regra dos graus: se o numerador tem grau
e o denominador grau , - se
então o limite é ; - se
então o limite é a razão dos coeficientes líderes; - se
então a função tende a e o sinal depende dos coeficientes líderes e da diferença .
Aqui o numerador tem graue o denominador tem grau , logo e o limite será divergente (infinito positivo ou negativo).
- se
- Para saber o sinal (positivo/negativo) e a ordem de crescimento é conveniente fazer divisão polinomial ou aproximar pelos termos líderes.
Passo 3
Vou fazer a divisão polinomial passo a passo porque isso mostra claramente o comportamento dominante para
grande.
Dividir
por
.
Primeiro, observe que o termo de maior grau do divisor é
(pois
). Procede-se assim:
- Dividendo o termo líder
pelo termo líder do divisor obtém-se o primeiro termo do quociente:
- Multiplica-se o divisor por
:
- Subtrai-se esse produto do numerador:
(O passo acima cancelou
e somou
.)
- Agora divide-se
pelo termo líder do divisor :
- Multiplica-se o divisor por
:
- Subtrai-se esse produto do resto
:
Portanto a divisão fornece quociente e resto:
Passo 4
Agora analisamos cada termo quando
.
- O termo
tende a quando , porque multiplica por . - O termo constante
permanece . - O termo
tende a quando , porque o denominador cresce em módulo (especificamente ), então a fração tende a . Note que é negativo para , então essa fração tende a por valores negativos, mas o seu limite é .
Passo 5
Somando os comportamentos:
Assim a expressão inteira diverge para menos infinito.
Passo 6
Para reforçar com a ideia dos termos líderes (método mais rápido para prova): quando
é grande, os termos de maior grau dominam, então
e
quando
. Isso confirma o resultado obtido pela divisão.