Determine os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
. O conteúdo é cálculo de limites, lidando com uma indeterminação do tipo
. Vamos precisar reescrever a expressão para aplicar expansão em série de Taylor ou l’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, criamos um denominador comum para transformar a diferença num quociente. Reescrevendo temos:
[
\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x}=\frac{\sin x - x}{x,\sin x}.
]
Então o limite fica .
[
\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x}=\frac{\sin x - x}{x,\sin x}.
]
Então o limite fica
Passo 3
Percebemos que, ao enviar
, o numerador
e o denominador
, obtendo a forma indeterminada
. Para resolver vamos usar a expansão em série de Taylor de
em torno de zero.
Passo 4
A expansão de Taylor até a ordem 5 é
[
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5).
]
Substituindo:
[
\sin x - x = -\frac{x^3}{6} + O(x^5),
]
[
x\sin x = x\Bigl(x - \frac{x^3}{6} + O(x5)\Bigr)=x2 - \frac{x^4}{6} + O(x^6).
]
[
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5).
]
Substituindo:
[
\sin x - x = -\frac{x^3}{6} + O(x^5),
]
[
x\sin x = x\Bigl(x - \frac{x^3}{6} + O(x5)\Bigr)=x2 - \frac{x^4}{6} + O(x^6).
]
Passo 5
O quociente então é
[
\frac{\sin x - x}{x\sin x}=\frac{-\frac{x3}{6}+O(x5)}{x^2 - \frac{x4}{6}+O(x6)}.
]
Dividindo numerador e denominador por , obtemos
[
\frac{-\frac{x}{6}+O(x^3)}{1 - \frac{x2}{6}+O(x4)}.
]
[
\frac{\sin x - x}{x\sin x}=\frac{-\frac{x3}{6}+O(x5)}{x^2 - \frac{x4}{6}+O(x6)}.
]
Dividindo numerador e denominador por
[
\frac{-\frac{x}{6}+O(x^3)}{1 - \frac{x2}{6}+O(x4)}.
]
Passo 6
Quando
, o termo dominante no numerador é
e o denominador tende a 1, de modo que o limite vale 0.
Resposta
0