Determine os seguintes limites:

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0l(tfrac1x-cosecxr). O conteúdo é cálculo de limites, lidando com uma indeterminação do tipo infty - infty. Vamos precisar reescrever a expressão para aplicar expansão em série de Taylor ou l’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, criamos um denominador comum para transformar a diferença num quociente. Reescrevendo temos:
[
\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x}=\frac{\sin x - x}{x,\sin x}.
]
Então o limite fica limxto0sin x - xx,sin x.

Passo 3

Percebemos que, ao enviar xto0, o numerador sin x - xto0 e o denominador xsin xto0, obtendo a forma indeterminada 0/0. Para resolver vamos usar a expansão em série de Taylor de sin x em torno de zero.

Passo 4

A expansão de Taylor até a ordem 5 é
[
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5).
]
Substituindo:
[
\sin x - x = -\frac{x^3}{6} + O(x^5),
]
[
x\sin x = x\Bigl(x - \frac{x^3}{6} + O(x5)\Bigr)=x2 - \frac{x^4}{6} + O(x^6).
]

Passo 5

O quociente então é
[
\frac{\sin x - x}{x\sin x}=\frac{-\frac{x3}{6}+O(x5)}{x^2 - \frac{x4}{6}+O(x6)}.
]
Dividindo numerador e denominador por x^2, obtemos
[
\frac{-\frac{x}{6}+O(x^3)}{1 - \frac{x2}{6}+O(x4)}.
]

Passo 6

Quando xto0, o termo dominante no numerador é -tfracx6 e o denominador tende a 1, de modo que o limite vale 0.

Resposta

0

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