Determine os seguintes limites:

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x→∞ de x – √(x² + x). O conteúdo aqui é limite de expressão na forma ∞ – ∞. Para resolver, vamos usar racionalização (multiplicar pelo conjugado) e depois propriedades de limites no infinito.

Passo 2

Para combater a indeterminação ∞ – ∞, multiplicamos a expressão pelo conjugado sobre si mesmo:
Começamos com
x - raizx^2 + x,
e multiplicamos por
x + raizx^2 + xx + raizx^2 + x
Isso transforma em
(x - raizx^2 + x)(x + raizx^2 + x)x + raizx^2 + x = x^2 - (x^2 + x)x + raizx^2 + x = -xx + raizx^2 + x

Passo 3

Agora fatoramos x no numerador e denominador para trabalhar o limite no infinito:
-xx + raizx^2 + x = -xxl(1 + raiz1 + tfrac1xr) = -11 + raiz1 + tfrac1x

Passo 4

Finalmente, aplicamos o limite x→∞. Como 1/x → 0, temos raiz1 + 1/x → 1. Então
limx→∞-11 + raiz1 + tfrac1x = -11 + 1 = -tfrac12

Resposta

-\tfrac12

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