Determine o seguinte limite, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
lim x 0 x^2 tan (x)tan (x)-x

Passo 1

No enunciado, a gente precisa encontrar o limite da função x^2 tan(x)tan(x) - x quando x se aproxima de 0. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente limites e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como a função tangente se comporta perto de zero e aplicar algumas técnicas de simplificação de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de tan(x) quando x está perto de 0. Sabemos que, para valores pequenos de x, a tangente pode ser aproximada pela sua série de Taylor:
tan(x) approx x + x^33
Essa aproximação vai nos ajudar a simplificar a expressão.

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação no numerador e no denominador da expressão original.
Numerador:
x^2 tan(x) approx x^2(x + x^33) = x^3 + x^53
Denominador:
tan(x) - x approx (x + x^33) - x = x^33

Passo 4

Com as aproximações, a expressão do limite fica assim:
limx to 0 x^3 + x^53x^33
Podemos fatorar x^3 no numerador:
limx to 0 x^3(1 + x^23)x^33 = limx to 0 3(1 + x^23)
Aqui, cancelamos x^3 no numerador e no denominador, e multiplicamos por 3.

Passo 5

Agora, avaliamos o limite quando x tende a 0:
3(1 + 0^23) = 3 times 1 = 3
Como o termo x^23 desaparece quando x vai para 0.

Resposta

O limite é igual a 3.

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