Determine o seguinte limite, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
Passo 1
No enunciado, a gente precisa encontrar o limite da função
quando
se aproxima de 0. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente limites e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como a função tangente se comporta perto de zero e aplicar algumas técnicas de simplificação de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de
quando
está perto de 0. Sabemos que, para valores pequenos de
, a tangente pode ser aproximada pela sua série de Taylor:
Essa aproximação vai nos ajudar a simplificar a expressão.
Passo 3
Agora, substituímos essa aproximação no numerador e no denominador da expressão original.
Numerador:
Denominador:
Passo 4
Com as aproximações, a expressão do limite fica assim:
Podemos fatorar
no numerador:
Aqui, cancelamos
no numerador e no denominador, e multiplicamos por 3.
Passo 5
Agora, avaliamos o limite quando
tende a 0:
Como o termo
desaparece quando
vai para 0.
Resposta
O limite é igual a 3.