Faça um esboço das curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais:
sigma(t)=(3, cos (t), sen(t)), t in[0, pi].

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva em R^3 definida por
sigma(t) = l(3,;cos(t),;sin(t)r), tin[0,pi]
O conteúdo aqui é parametrização de curvas em espaço e reconhecimento de seções de cilindro ou círculos em planos.

Passo 2

Observe que a primeira componente é constante, isto é,
x(t)=3forall t
Isso significa que a curva vive inteiramente no plano vertical x=3.

Passo 3

As outras duas componentes satisfazem
y(t)=cos(t), z(t)=sin(t),
e então
y(t)^2 + z(t)^2 = cos^2(t) + sin^2(t) = 1
Logo, a curva é parte do círculo de raio 1 centrado na reta (3,0,0) no plano x=3.

Passo 4

Como t varia de 0 a pi, percorremos a semicircunferência superior desse círculo. Em particular:
Para t=0 temos sigma(0)=(3,1,0),
para t=tfracpi2 temos sigma(tfracpi2)=(3,0,1),
e para t=pi temos sigma(pi)=(3,-1,0).
O sentido do traçado é de (3,1,0) passando por (3,0,1) até (3,-1,0).

Resposta

A curva é um semicírculo de raio 1 no plano x=3, situado na “parte superior” do círculo (3,y,z)mid y^2+z^2=1, orientado de (3,1,0) a (3,-1,0) passando por (3,0,1).

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