Determine o seguinte limite, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
lim x +infty x sin (3x)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo para determinar o limite quando x tende a mais infinito da expressão x sin(3x) . A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites, especificamente lidando com funções trigonométricas e comportamentos assintóticos. Para resolver, vamos precisar entender como a função seno se comporta quando seu argumento fica bem pequeno.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o argumento do seno quando x cresce sem limites. Observe que:
3x quando x +infty
Conforme x fica maior e maior, 3x fica cada vez menor, aproximando-se de zero. Então, estamos basicamente olhando para sin de um número que está chegando perto de zero.

Passo 3

Sabemos de limites básicos que quando t se aproxima de zero, o seno de t pode ser aproximado por t próprio. Ou seja:
limt 0 sin(t)t = 1
Isso significa que sin(t) approx t quando t é muito pequeno.

Passo 4

Aplicando essa ideia ao nosso caso, onde t = 3x :
sin(3x) approx 3x quando x +infty
Então, substituindo essa aproximação na expressão original:
x sin(3x) approx x cdot 3x = 3

Passo 5

Agora, vamos formalizar isso usando o limite:
limx +infty x sin(3x) = limx +infty sin(3x)1x^-1 = 3 cdot limt 0 sin(t)t = 3 cdot 1 = 3

Resposta

O limite é igual a 3 .

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