Determine o seguinte limite, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de cálculo para determinar o limite quando
tende a mais infinito da expressão
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites, especificamente lidando com funções trigonométricas e comportamentos assintóticos. Para resolver, vamos precisar entender como a função seno se comporta quando seu argumento fica bem pequeno.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o argumento do seno quando
cresce sem limites. Observe que:
Conforme
fica maior e maior,
fica cada vez menor, aproximando-se de zero. Então, estamos basicamente olhando para
de um número que está chegando perto de zero.
Passo 3
Sabemos de limites básicos que quando
se aproxima de zero, o seno de
pode ser aproximado por
próprio. Ou seja:
Isso significa que
quando
é muito pequeno.
Passo 4
Aplicando essa ideia ao nosso caso, onde
:
Então, substituindo essa aproximação na expressão original:
Passo 5
Agora, vamos formalizar isso usando o limite:
Resposta
O limite é igual a
.