Enuncie e prove o Teorema do valor médio de Lagrange. Além disso, forneça um exemplo e um contra-exemplo.

Passo 1

O enunciado pede para apresentar o Teorema do Valor Médio de Lagrange, prová-lo e depois dar um exemplo em que ele se aplica e um contra-exemplo em que alguma hipótese falha. O conteúdo é cálculo diferencial, especificamente o uso do Teorema de Rolle para demonstrar o Valor Médio.

Passo 2

Enunciado do Teorema do Valor Médio de Lagrange:
Seja f contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b). Então existe pelo menos um ponto cin(a,b) tal que
f'(c) ;=;f(b)-f(a)b-a

Passo 3

Prova usando o Teorema de Rolle. Definimos a função auxiliar
g(x)=f(x)-l[f(b)-f(a)b-a,xr]
Observamos que g satisfaz as hipóteses de Rolle em [a,b]:
  1. g é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b) pois f tem essas propriedades e a parte linear também.
  2. Calculamos
g(a)=f(a)-f(b)-f(a)b-a,a, g(b)=f(b)-f(b)-f(a)b-a,b
Fazendo as contas, nota-se que g(a)=g(b).

Passo 4

Pelo Teorema de Rolle existe cin(a,b) tal que g'(c)=0. Mas
g'(x)=f'(x)-f(b)-f(a)b-a,
logo em x=c temos
0=g'(c)=f'(c)-f(b)-f(a)b-a ;Longrightarrow; f'(c)=f(b)-f(a)b-a,
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Passo 5

Exemplo de aplicação:
Considere f(x)=x^2 em [1,3]. Então
f(3)-f(1)3-1=9-12=4
Como f'(x)=2x, basta resolver 2c=4, o que dá c=2in(1,3). De fato, em x=2 o teorema se verifica.

Passo 6

Contra-exemplo (falha de hipótese):
Tome f(x)=|x| em [-1,1]. A razão [f(1)-f(-1)]/(1-(-1))=(1-1)/2=0. Se existisse cin(-1,1) com f'(c)=0, precisaríamos de derivada em (a,b). Mas f não é diferenciável em x=0, e de fato não há ponto interior onde f'(c)=0. Assim uma hipótese (diferenciabilidade) falha.

Resposta

Enunciamos e provamos o Teorema do Valor Médio de Lagrange:
Se f é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), então existe cin(a,b) tal que
f'(c)=f(b)-f(a)b-a
Exemplo de aplicação: f(x)=x^2 em [1,3] leva a c=2.
Contra-exemplo: f(x)=|x| em [-1,1] falha porque não é diferenciável em 0.

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