Enuncie e prove o Teorema do valor médio de Lagrange. Além disso, forneça um exemplo e um contra-exemplo.
Passo 1
O enunciado pede para apresentar o Teorema do Valor Médio de Lagrange, prová-lo e depois dar um exemplo em que ele se aplica e um contra-exemplo em que alguma hipótese falha. O conteúdo é cálculo diferencial, especificamente o uso do Teorema de Rolle para demonstrar o Valor Médio.
Passo 2
Enunciado do Teorema do Valor Médio de Lagrange:
Seja contínua em
e diferenciável em
. Então existe pelo menos um ponto
tal que
Seja
Passo 3
Prova usando o Teorema de Rolle. Definimos a função auxiliar
Observamos que
satisfaz as hipóteses de Rolle em
:
-
é contínua em e diferenciável em pois tem essas propriedades e a parte linear também. - Calculamos
Fazendo as contas, nota-se que
.
Passo 4
Pelo Teorema de Rolle existe
tal que
. Mas
logo em
temos
que é exatamente o que queríamos demonstrar.
Passo 5
Exemplo de aplicação:
Considere em
. Então
Considere
Como
, basta resolver
, o que dá
. De fato, em
o teorema se verifica.
Passo 6
Contra-exemplo (falha de hipótese):
Tome em
. A razão
. Se existisse
com
, precisaríamos de derivada em
. Mas
não é diferenciável em
, e de fato não há ponto interior onde
. Assim uma hipótese (diferenciabilidade) falha.
Tome
Resposta
Enunciamos e provamos o Teorema do Valor Médio de Lagrange:
Se
é contínua em
e diferenciável em
, então existe
tal que
Exemplo de aplicação:
em
leva a
.
Contra-exemplo: em
falha porque não é diferenciável em
.
Contra-exemplo: