Esboce o gráfico da função
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
O que vamos usar: domínio da função, limites para achar assíntotas verticais e oblíquas, derivada para monotonia e extremos, e alguns valores-chave para posicionar pontos.
Passo 2
Determinar o domínio. A única restrição vem de
. Logo
Passo 3
Limites em torno de
(assíntota vertical).
Para ,
, então
. Logo
Para
Para
,
,
. Logo
Isso confirma assíntota vertical em
.
Passo 4
Assíntota oblíqua em
. Note que
, então
Logo a reta
é assíntota oblíqua para
.
Passo 5
Derivada e monotonia. Seja
Então
O denominador é sempre positivo, o sinal de
é oposto ao de
, cujas raízes são
Assim:
-
em e também em e em : função decrescente nessas faixas. -
em : função crescente nesse intervalo.
Passo 6
Extremos locais.
Em temos mínimo local
Em
e em
temos máximo local
Passo 7
Alguns valores úteis para o esboço:
A raiz
ocorre numericamente em
.
Passo 8
Resumo do esboço:
– Em :
é decrescente de
(quando
) até
(quando
).
– Em : decresce de
até o mínimo
.
– Em : cresce até o máximo
.
– Em : decresce passando por
, cruza o eixo em
, por
e tende a
, sempre se aproximando da reta
.
– Em
– Em
– Em
– Em
Resposta
O gráfico de
tem domínio
, assíntota vertical em
, assíntota oblíqua
, mínimo local em
e máximo local em
, cruza o eixo
em
, e segue o esboço descrito acima.