Esboce o gráfico da função
f(x)=arctan (2 x+1x+1)-2 x

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=arctan!l(tfrac2x+1x+1r);-;2x
O que vamos usar: domínio da função, limites para achar assíntotas verticais e oblíquas, derivada para monotonia e extremos, e alguns valores-chave para posicionar pontos.

Passo 2

Determinar o domínio. A única restrição vem de x+1neq0. Logo
dom(f)=(-infty,-1),cup,(-1,infty)

Passo 3

Limites em torno de x=-1 (assíntota vertical).
Para xto-1^-, tfrac2x+1x+1to+infty, então arctantotfracpi2. Logo
limxto-1^-f(x)=pi2-2(-1)=pi2+2
Para xto-1^+, tfrac2x+1x+1to-infty, arctanto-tfracpi2. Logo
limxto-1^+f(x)=-pi2-2(-1)=-pi2+2
Isso confirma assíntota vertical em x=-1.

Passo 4

Assíntota oblíqua em xtopminfty. Note que tfrac2x+1x+1to2, então
f(x)simarctan(2);-;2x
Logo a reta
y=-2x+arctan(2)
é assíntota oblíqua para xtopminfty.

Passo 5

Derivada e monotonia. Seja
u(x)=2x+1x+1, u'(x)=1(x+1)^2
Então
f'(x) =u'(x)1+u(x)^2-2 =1(x+1)^2l(1+(tfrac2x+1x+1)^2r)-2 =15x^2+6x+2-2 =-10x^2-12x-35x^2+6x+2
O denominador é sempre positivo, o sinal de f' é oposto ao de
,10x^2+12x+3, cujas raízes são
x1=-6-raiz610approx-0,845, x2=-6+raiz610approx-0,355
Assim:
  • f'(x)<0 em (-infty,-1) e também em (-1,x1) e em (x2,infty): função decrescente nessas faixas.
  • f'(x)>0 em (x1,x2): função crescente nesse intervalo.

Passo 6

Extremos locais.
Em x1approx-0,845 temos mínimo local
f(x1)approx0,338,
e em x2approx-0,355 temos máximo local
f(x2)approx1,132

Passo 7

Alguns valores úteis para o esboço:
f(0)=arctan(1)-0=pi4approx0,785,
f(1)=arctanl(tfrac32r)-2approx0,983-2=-1,017
A raiz f(x)=0 ocorre numericamente em xapprox0,459.

Passo 8

Resumo do esboço:
– Em (-infty,-1): f é decrescente de +infty (quando xto-infty) até pi/2+2approx3,571 (quando xto-1^-).
– Em (-1,-0,845): decresce de -pi/2+2approx0,429 até o mínimo (x1,0,338).
– Em (-0,845,-0,355): cresce até o máximo (x2,1,132).
– Em (-0,355,infty): decresce passando por (0,0,785), cruza o eixo em (0,459,0), por (1,-1,017) e tende a -infty, sempre se aproximando da reta y=-2x+arctan(2).

Resposta

O gráfico de f tem domínio (-infty,-1)cup(-1,infty), assíntota vertical em x=-1, assíntota oblíqua y=-2x+arctan(2), mínimo local em l(-0,845,0,338r) e máximo local em l(-0,355,1,132r), cruza o eixo x em xapprox0,459, e segue o esboço descrito acima.

Exercícios relacionados