Determine o seguinte limite, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para a gente encontrar o limite quando
tende a mais infinito da expressão
. Isso envolve conceitos de limites e a função exponencial, que é super importante em cálculo. Vamos precisar usar a definição de
e algumas propriedades de exponenciais para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a parte dentro do limite:
. Sabemos que quando temos algo na forma
, isso se aproxima de
quando
cresce sem limites. Aqui, nosso
é 3, mas temos um fator extra de 7 no expoente. Vamos separar isso para facilitar.
Passo 3
Vamos reescrever a expressão usando propriedades de potências. A ideia é separar o 7 do expoente
:
Agora, focamos na parte
. Pela definição do número
:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Agora que sabemos que
se aproxima de
quando
vai para o infinito, vamos elevar isso à potência 7:
Resposta
O limite é
.