Determine o seguinte limite, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
lim x +infty(1+3x)^7 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para a gente encontrar o limite quando x tende a mais infinito da expressão (1 + 3x)^7x . Isso envolve conceitos de limites e a função exponencial, que é super importante em cálculo. Vamos precisar usar a definição de e e algumas propriedades de exponenciais para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a parte dentro do limite: (1 + 3x)^7x . Sabemos que quando temos algo na forma (1 + kx)^x , isso se aproxima de e^k quando x cresce sem limites. Aqui, nosso k é 3, mas temos um fator extra de 7 no expoente. Vamos separar isso para facilitar.

Passo 3

Vamos reescrever a expressão usando propriedades de potências. A ideia é separar o 7 do expoente x :
(1 + 3x)^7x = [(1 + 3x)^x]^7
Agora, focamos na parte (1 + 3x)^x . Pela definição do número e :
limx to +infty (1 + ax)^x = e^a
No nosso caso, a = 3 , então:
limx to +infty (1 + 3x)^x = e^3

Passo 4

Agora que sabemos que (1 + 3x)^x se aproxima de e^3 quando x vai para o infinito, vamos elevar isso à potência 7:
[limx to +infty (1 + 3x)^x]^7 = (e^3)^7 = e^21

Resposta

O limite é e^21 .

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