Esboce o gráfico da função
f(x)=arctan (x+12 x+3)-2 x

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=arctan!l(tfracx+12x+3r)-2x
O conteúdo principal aqui é esboço de curvas: vamos determinar domínio, assíntotas, variação (monotonicidade) e pontos notáveis para depois conectar tudo.

Passo 2

Determinamos o domínio observando o denominador de (x+1)/(2x+3). Como 2x+3neq0, vale
Dom(f)=Rsetminusl-tfrac32r

Passo 3

Analisamos o comportamento em xto-tfrac32^pm:
– Se xto(-tfrac32)^-, então 2x+3to0^- e x+1to-tfrac12, logo tfracx+12x+3to+infty e arctantotfracpi2. Assim
f(x)totfracpi2 -2l(-tfrac32r)=tfracpi2+3(tende a +infty)
– Se xto(-tfrac32)^+, então 2x+3to0^+ e tfracx+12x+3to-infty, arctanto-tfracpi2. Logo
f(x)to -tfracpi2 -2l(-tfrac32r)=-tfracpi2+3(tende a -infty)
Isso mostra uma assíntota vertical em x=-tfrac32.

Passo 4

Estudamos xtopminfty. Como
x+12x+3totfrac12,arctantfrac12=constante,
segue
f(x)=-2x+arctantfrac12+o(1)
Portanto há uma assíntota oblíqua
y=-2x+arctantfrac12

Passo 5

Para a monotonicidade, calculamos a derivada. Seja g(x)=tfracx+12x+3. Então
g'(x)=(2x+3)cdot1-(x+1)cdot2(2x+3)^2 =1(2x+3)^2
Logo
f'(x)=g'(x)1+g(x)^2-2 =1(2x+3)^2l[1+(tfracx+12x+3)^2r]-2
Note que
(2x+3)^2l[1+l(tfracx+12x+3r)^2r] =(2x+3)^2+(x+1)^2=5x^2+14x+10
Assim f'(x)=0 equivale a
5x^2+14x+10=tfrac12 Longrightarrow 10x^2+28x+19=0,
com soluções
x=-28pmraiz2420=-14pmraiz610 approx -1,645e -1,155

Passo 6

Classificamos esses pontos críticos:
– Em x1approx -1,645, f' muda de negativa para positiva, logo é mínimo local.
– Em x2approx -1,155, f' muda de positiva para negativa, logo é máximo local.

Passo 7

Calculamos alguns valores marcantes para o esboço:
f(0)=arctantfrac13approx0,322, f(-1)=arctan0-2(-1)=2
Nos pontos críticos
f(-1,645)approx4,44(mínimo local), f(-1,155)approx2,09(máx local) íá

Passo 8

Agora juntamos tudo:
bul<=t Domínio (-infty,-1,5)cup(-1,5,infty).
bul<=t Assíntota vertical x=-1,5.
bul<=t Assíntota oblíqua y=-2x+arctantfrac12.
bul<=t Decréscimo em (-infty,-1,645), mínimo em -1,645, aumento até a assíntota, salto de +infty para -infty em -1,5, aumento até -1,155, depois decresce até -infty e se aproxima da oblíqua para xtoinfty.
bul<=t Pontos notáveis: (0,0,322), (-1,2), etc.

Resposta

O esboço apresenta dois ramos:
  • Para x<-1,5, o gráfico decresce até um mínimo em l(-1,645,4,44r), cresce até +infty em xto-1,5^-.
  • Para x>-1,5, vai de -infty em xto-1,5^+, sobe até o máximo em l(-1,155,2,09r) e depois decresce, aproximando-se da reta y=-2x+arctantfrac12.

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