Esboce o gráfico da função
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
O conteúdo principal aqui é esboço de curvas: vamos determinar domínio, assíntotas, variação (monotonicidade) e pontos notáveis para depois conectar tudo.
Passo 2
Determinamos o domínio observando o denominador de
. Como
, vale
Passo 3
Analisamos o comportamento em
:
– Se , então
e
, logo
e
. Assim
– Se
– Se
, então
e
,
. Logo
Isso mostra uma assíntota vertical em
.
Passo 4
Estudamos
. Como
segue
Portanto há uma assíntota oblíqua
Passo 5
Para a monotonicidade, calculamos a derivada. Seja
. Então
Logo
Note que
Assim
equivale a
com soluções
Passo 6
Classificamos esses pontos críticos:
– Em ,
muda de negativa para positiva, logo é mínimo local.
– Em ,
muda de positiva para negativa, logo é máximo local.
– Em
– Em
Passo 7
Calculamos alguns valores marcantes para o esboço:
Nos pontos críticos
Passo 8
Agora juntamos tudo:
Domínio
.
Assíntota vertical
.
Assíntota oblíqua
.
Decréscimo em
, mínimo em
, aumento até a assíntota, salto de
para
em
, aumento até
, depois decresce até
e se aproxima da oblíqua para
.
Pontos notáveis:
,
, etc.
Resposta
O esboço apresenta dois ramos:
- Para
, o gráfico decresce até um mínimo em , cresce até em . - Para
, vai de em , sobe até o máximo em e depois decresce, aproximando-se da reta .