Enuncie e prove a regra da cadeia para derivadas. Além disso, forneça um exemplo e um contra-exemplo.

Passo 1

O enunciado pede para enunciar e provar a regra da cadeia para derivadas, além de dar um exemplo e um contra-exemplo.
O conteúdo principal é: dada a composição h(x)=fl(g(x)r), mostrar que, sob hipóteses de diferenciabilidade,
h'(x)=f'l(g(x)r),cdot g'(x)
Para isso vamos usar a definição de derivada via limite e as propriedades de limite de produto.

Passo 2

Enunciado da regra da cadeia:
Sejam g diferenciável em x e f diferenciável em u=g(x). Então a composição h(x)=fl(g(x)r) é diferenciável em x e vale
h'(x)=ddxl[fl(g(x)r)r] =f'l(g(x)r),cdot g'(x)

Passo 3

Prova usando definição de derivada:
h'(x) =limhto0fl(g(x+h)r)-fl(g(x)r)h
Como g é diferenciável em x, temos
De<a g = g(x+h)-g(x) e De<a ghto g'(x)
Como f é diferenciável em u=g(x), seu incremento satisfaz
fl(g(x)+De<a gr)-fl(g(x)r) =f'l(g(x)r),De<a g + o(De<a g),
onde o(De<a g)/De<a gto0.
Logo
f(g(x+h))-f(g(x))h =f'(g(x)),De<a g + o(De<a g)h =f'(g(x)),De<a gh + o(De<a g)h
Quando hto0, De<a gto0 e
De<a ghto g'(x), o(De<a g)h =o(De<a g)De<a g,De<a ghto0cdot g'(x)=0
Portanto
h'(x) =limhto0f(g(x+h))-f(g(x))h =f'(g(x)),g'(x)

Passo 4

Exemplo prático:
Tome f(u)=e^u e g(x)=x^2. Então
h(x)=fl(g(x)r)=e^x^2
Pela regra da cadeia,
h'(x) =e^g(x)cdot g'(x) =e^x^2cdot 2x =2x,e^x^2

Passo 5

Contra-exemplo (quando falta diferenciabilidade):
Defina
f(u)=raizu(u>=0), g(x)=x^2
Aqui g é diferenciável em todo x, mas f não é diferenciável em u=0. Note que
h(x)=f(g(x))=raizx^2=|x|
Por um lado g'(0)=0, mas f'l(g(0)r)=f'(0) não existe. De fato h(x)=|x| não é diferenciável em 0. Assim, sem a hipótese de diferenciabilidade de f em g(x), a regra da cadeia não se aplica.

Resposta

Enunciado: Se g é diferenciável em x e f é diferenciável em g(x), então
ddxfl(g(x)r) =f'l(g(x)r),g'(x)
Exemplo: com f(u)=e^u, g(x)=x^2 obtém-se l(e^x^2r)'=2x,e^x^2.
Contra-exemplo: f(u)=raiz u, g(x)=x^2 levam a h(x)=|x|, que não é diferenciável em 0 porque f não é diferenciável em u=0.

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