Enuncie e prove a regra da cadeia para derivadas. Além disso, forneça um exemplo e um contra-exemplo.
Passo 1
O enunciado pede para enunciar e provar a regra da cadeia para derivadas, além de dar um exemplo e um contra-exemplo.
O conteúdo principal é: dada a composição , mostrar que, sob hipóteses de diferenciabilidade,
O conteúdo principal é: dada a composição
Para isso vamos usar a definição de derivada via limite e as propriedades de limite de produto.
Passo 2
Enunciado da regra da cadeia:
Sejam diferenciável em
e
diferenciável em
. Então a composição
é diferenciável em
e vale
Sejam
Passo 3
Prova usando definição de derivada:
Como
é diferenciável em
, temos
Como
é diferenciável em
, seu incremento satisfaz
onde
.
Logo
Logo
Quando
,
e
Portanto
Passo 4
Exemplo prático:
Tome e
. Então
Tome
Pela regra da cadeia,
Passo 5
Contra-exemplo (quando falta diferenciabilidade):
Defina
Defina
Aqui
é diferenciável em todo
, mas
não é diferenciável em
. Note que
Por um lado
, mas
não existe. De fato
não é diferenciável em
. Assim, sem a hipótese de diferenciabilidade de
em
, a regra da cadeia não se aplica.
Resposta
Enunciado: Se
é diferenciável em
e
é diferenciável em
, então
Exemplo: com
,
obtém-se
.
Contra-exemplo: ,
levam a
, que não é diferenciável em
porque
não é diferenciável em
.
Contra-exemplo: