Enuncie e prove a regra do quociente para derivadas. Além disso, forneça um exemplo e um contra-exemplo.

Passo 1

O enunciado pede para a gente enunciar e provar a regra do quociente de derivadas, ou seja, dado f e g deriváveis em um ponto x com g(x)neq0, achar l(tfracfgr)'(x). Vamos usar como ferramentas a definição de derivada via limite, a regra do produto e a derivada da função inversa umapsto1/u.

Passo 2

Enunciado da regra do quociente:
Se f e g são deriváveis em x e g(x)neq0, então a função
h(x)=f(x)g(x)
é derivável em x e vale
h'(x) =gl(fggr)'(x) =g(x),f'(x)-f(x),g'(x)l(g(x)r)^2,

Passo 3

Prova da derivada da função inversa. Seja u(x)=g(x) e v(x)=1/g(x). Pela definição de derivada:
v'(x) =limhto01g(x+h)-1g(x)h =limhto0g(x)-g(x+h)h,g(x+h),g(x) =-g'(x)l(g(x)r)^2
Aqui usamos que limhto0g(x+h)-g(x)h=g'(x) e g(x+h)to g(x)neq0.

Passo 4

Prova da regra do quociente via produto: escrevemos
f(x)g(x) =f(x)cdot1g(x)
Aplicando a regra do produto:
l(fcdot vr)'(x) =f'(x),v(x)+f(x),v'(x) =f'(x)g(x)+f(x)l(-g'(x)g(x)^2r) =g(x),f'(x)-f(x),g'(x)g(x)^2

Passo 5

Exemplo de aplicação. Seja
f(x)=sin x, g(x)=x, xneq0
Então
gl(sin xxgr)' =xcos x-sin xx^2

Passo 6

Contra-exemplo que mostra a necessidade de g(x)neq0. Tome
f(x)=x^2, g(x)=x
Em x=0, ambas são deriváveis, mas g(0)=0 quebra a hipótese. A razão é
f(x)g(x)=x^2x=x
que é derivável em 0 com derivada 1. Porém a fórmula da regra do quociente daria divisão por zero em g(0)^2.

Resposta

(i) Regra do quociente: se f e g são deriváveis em x e g(x)neq0,
gl(fggr)'(x) =g(x),f'(x)-f(x),g'(x)l(g(x)r)^2
(ii) Exemplo: para sin x/x obtemos l(sin x/xr)'=(xcos x-sin x)/x^2
(iii) Contra-exemplo: em f(x)=x^2, g(x)=x no ponto x=0 a fórmula falha porque g(0)=0.

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