Enuncie e prove a regra do quociente para derivadas. Além disso, forneça um exemplo e um contra-exemplo.
Passo 1
O enunciado pede para a gente enunciar e provar a regra do quociente de derivadas, ou seja, dado
e
deriváveis em um ponto
com
, achar
. Vamos usar como ferramentas a definição de derivada via limite, a regra do produto e a derivada da função inversa
.
Passo 2
Enunciado da regra do quociente:
Se e
são deriváveis em
e
, então a função
Se
é derivável em
e vale
Passo 3
Prova da derivada da função inversa. Seja
e
. Pela definição de derivada:
Aqui usamos que
e
.
Passo 4
Prova da regra do quociente via produto: escrevemos
Aplicando a regra do produto:
Passo 5
Exemplo de aplicação. Seja
Então
Passo 6
Contra-exemplo que mostra a necessidade de
. Tome
Em
, ambas são deriváveis, mas
quebra a hipótese. A razão é
que é derivável em
com derivada
. Porém a fórmula da regra do quociente daria divisão por zero em
.
Resposta
(i) Regra do quociente: se
e
são deriváveis em
e
,
(ii) Exemplo: para
obtemos
(iii) Contra-exemplo: em ,
no ponto
a fórmula falha porque
.
(iii) Contra-exemplo: em