Seja r(t)=lang<=e^t-1t, 2-t, ln (1+t)rang<=
Encontre lim t 0 r(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial r(t) que depende de t, e precisamos encontrar o limite dela quando t se aproxima de 0. Isso envolve conceitos de limites em funções vetoriais, que basicamente significa calcular o limite de cada componente da função separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da nossa função vetorial r(t):
r(t) = lang<= e^t - 1t, 2 - t, ln(1 + t) rang<=
Isso quer dizer que temos três funções escalares:
  1. e^t - 1t
  2. 2 - t
  3. ln(1 + t)

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de cada componente quando t se aproxima de 0.
Primeira componente: e^t - 1t
Esse é um caso clássico que usamos a regra de L’Hôpital porque quando substituímos t = 0 , tanto o numerador quanto o denominador se tornam 0, o que é uma indeterminação do tipo 00 .
Então, aplicamos a regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e depois calcular o limite:
  • Derivada do numerador: ddt(e^t - 1) = e^t
  • Derivada do denominador: ddt(t) = 1
Agora, o limite fica:
limt to 0 e^t1 = e^0 = 1
Segunda componente: 2 - t
Essa é uma função linear e contínua em todo lugar, então podemos simplesmente substituir t = 0 :
limt to 0 (2 - t) = 2 - 0 = 2
Terceira componente: ln(1 + t)
A função logaritmo natural também é contínua onde está definida, então substituímos t = 0 :
limt to 0 ln(1 + t) = ln(1 + 0) = ln(1) = 0

Resposta

Portanto, o limite da função vetorial r(t) quando t se aproxima de 0 é:
limt to 0 r(t) = lang<= 1, 2, 0 rang<=

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