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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial
que depende de
, e precisamos encontrar o limite dela quando
se aproxima de 0. Isso envolve conceitos de limites em funções vetoriais, que basicamente significa calcular o limite de cada componente da função separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da nossa função vetorial
:
Isso quer dizer que temos três funções escalares:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de cada componente quando
se aproxima de 0.
Primeira componente:
Esse é um caso clássico que usamos a regra de L’Hôpital porque quando substituímos
, tanto o numerador quanto o denominador se tornam 0, o que é uma indeterminação do tipo
.
Então, aplicamos a regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e depois calcular o limite:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Agora, o limite fica:
Segunda componente:
Essa é uma função linear e contínua em todo lugar, então podemos simplesmente substituir
:
Terceira componente:
A função logaritmo natural também é contínua onde está definida, então substituímos
:
Resposta
Portanto, o limite da função vetorial
quando
se aproxima de 0 é: