Determine se a seguinte série converge ou diverge:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir se a série
converge ou diverge. A matéria aqui é sobre séries infinitas e vamos precisar usar técnicas de simplificação de termos e entender o comportamento da soma quando ela vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
. Para isso, vamos racionalizar o denominador, ou seja, multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.
Passo 3
Agora, vamos simplificar o denominador:
Então, o termo simplificado fica:
Passo 4
Agora, a série original se transforma em:
Essa é uma série telescópica, onde a maior parte dos termos se cancelam quando somamos.
Passo 5
Vamos calcular a soma parcial
:
Observamos que quase todos os termos se cancelam, restando apenas:
Passo 6
Para saber se a série converge, vamos ver o que acontece com
quando
vai para o infinito:
Resposta
A série diverge.