Determine se a seguinte série converge ou diverge:
s1=sumk=1^+infty(1raizk+1+raizk)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir se a série s1 = sumk=1^+infty ( 1raizk+1 + raizk ) converge ou diverge. A matéria aqui é sobre séries infinitas e vamos precisar usar técnicas de simplificação de termos e entender o comportamento da soma quando ela vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: 1raizk+1 + raizk . Para isso, vamos racionalizar o denominador, ou seja, multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.
1raizk+1 + raizk times raizk+1 - raizkraizk+1 - raizk = raizk+1 - raizk(raizk+1)^2 - (raizk)^2

Passo 3

Agora, vamos simplificar o denominador:
(raizk+1)^2 - (raizk)^2 = (k+1) - k = 1
Então, o termo simplificado fica:
raizk+1 - raizk1 = raizk+1 - raizk

Passo 4

Agora, a série original se transforma em:
s1 = sumk=1^+infty (raizk+1 - raizk)
Essa é uma série telescópica, onde a maior parte dos termos se cancelam quando somamos.

Passo 5

Vamos calcular a soma parcial Sn :
Sn = (raiz2 - raiz1) + (raiz3 - raiz2) + dots + (raizn+1 - raizn)
Observamos que quase todos os termos se cancelam, restando apenas:
Sn = raizn+1 - raiz1 = raizn+1 - 1

Passo 6

Para saber se a série converge, vamos ver o que acontece com Sn quando n vai para o infinito:
limn to +infty Sn = limn to +infty (raizn+1 - 1) = +infty

Resposta

A série diverge.

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