Use a equação de síntese da transformada de Fourier para determinar a transformada inversa de X(j omega)=|X(j omega)| e^j<Xlang<= j omegarang<=, sendo
|X(j omega)|=2u(omega+3)-u(omega-3) <Xlang<= j omegarang<==-32 omega+pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa
x(t)=12piintegral-infty^inftyX(jomega)e^jomega t,domega
sabendo que
|X(jomega)|=2l[u(omega+3)-u(omega-3)r], ang<= X(jomega)=-tfrac32,omega+pi
O conteúdo usado é a fórmula de síntese da transformada de Fourier e cálculo de integrale de exponencial complexa.

Passo 2

Como u(omega+3)-u(omega-3) vale 1 para -3<omega<3 e 0 fora, temos sobre esse intervalo
X(jomega) =2expl[jl(-tfrac32omega+pir)r] =2e^jpi,e^-j32omega =-2,e^-j32omega
Fora de -3,!3 vale zero.

Passo 3

Substituindo em x(t):
x(t) =12piintegral-3^3l(-2,e^-j32omegar)e^jomega t,domega =-1piintegral-3^3e^jomegal(t-tfrac32r),domega

Passo 4

Usamos a integral
integral-3^3e^jomega A,domega =e^jomega AjA|-3^3 =e^j3A-e^-j3AjA =2sin(3A)A
Aqui A=t-tfrac32.

Passo 5

Logo
x(t) =-1picdot2sinl(3,(t-tfrac32)r)t-tfrac32 =-2pi,sinl(3(t-tfrac32)r)t-tfrac32

Resposta

boxed x(t) =-2pi,sinl(3(t-tfrac32)r),t-tfrac32,

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