Determine a transformada de Fourier de cada um dos seguintes sinais periódicos:
2+cos (pi6 n+pi8)

Passo 1

Resumindo, temos o sinal periódico em tempo discreto
x[n]=2+cos!l(tfracpi6n+tfracpi8r)
O conteúdo é a Transformada de Fourier de tempo discreto (DTFT) de um sinal periódico, que resulta em somas de impulsos (deltas) nas frequências correspondentes às componentes harmônicas.

Passo 2

Separemos x[n] em duas partes: a constante e a cossenoidal, ou seja,
x[n]=2;+;cos!l(tfracpi6n+tfracpi8r)

Passo 3

A DTFT de uma constante 2 é
DTFT2=2cdot2pisumk=-infty^inftyde<a(Omega-2pi k) =4pisumk=-infty^inftyde<a(Omega-2pi k)

Passo 4

Para a parte cossenoidal, usamos a identidade de Euler:
cos!l(tfracpi6n+tfracpi8r) =tfrac12e^j(tfracpi6n+tfracpi8) +tfrac12e^-j(tfracpi6n+tfracpi8)
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cos!l(tfracpi6n+tfracpi8r) =tfrac12e^jpi/8,e^j(pi/6)n +tfrac12e^-jpi/8,e^-j(pi/6)n

Passo 5

Sabendo que
DTFTe^jOmega0 n =2pisumk=-infty^inftyde<a(Omega-Omega0-2pi k),
temos para cada termo exponencial:
tfrac12e^jpi/8e^j(pi/6)n;long<=ftrightarrow;pi e^jpi/8sumkde<al(Omega-tfracpi6-2pi kr),
tfrac12e^-jpi/8e^-j(pi/6)n;long<=ftrightarrow;pi e^-jpi/8sumkde<al(Omega+tfracpi6-2pi kr)

Passo 6

Somando as contribuições da constante e da cossenoidal obtemos a DTFT total:
X(e^jOmega) =4pisumk=-infty^inftyde<a(Omega-2pi k) +pi,e^jpi/8sumk=-infty^inftyde<a!l(Omega-tfracpi6-2pi kr) +pi,e^-jpi/8sumk=-infty^inftyde<a!l(Omega+tfracpi6-2pi kr)

Resposta

X(e^jOmega) =4pisumk=-infty^inftyde<a(Omega-2pi k) +pi,e^jpi/8sumk=-infty^inftyde<a!l(Omega-tfracpi6-2pi kr) +pi,e^-jpi/8sumk=-infty^inftyde<a!l(Omega+tfracpi6-2pi kr)

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