Determine se a seguinte série converge ou diverge:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita:
. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela tem um valor finito) ou se diverge (cresce sem limites). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo sobre séries infinitas, como o Teste da Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos observar os termos da série:
. Note que para todo
,
é positivo, então os termos são positivos. Isso é importante porque muitos testes de convergência funcionam apenas para séries de termos positivos.
Passo 3
Agora, vamos pensar em uma série que conhecemos bem e que podemos comparar com a nossa. Uma boa candidata é a série
, que é conhecida como uma série p com
. Sabemos que séries p convergem quando
, então essa série específica converge.
Passo 4
Vamos comparar os termos das duas séries. Observamos que:
porque
para todo
. Isso significa que cada termo da nossa série
é menor que o correspondente termo da série p que sabemos que converge.
Passo 5
De acordo com o Teste da Comparação, se todos os termos de uma série
forem menores ou iguais aos termos de uma série
que converge, então a série
também converge. No nosso caso,
e
, com
convergente.
Resposta
Portanto, pela comparação com a série
, concluímos que a série
converge.