Determine se a seguinte série converge ou diverge:
s2=sumk=2^+infty 1k^2 ln k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita: s2 = sumk=2^+infty 1k^2 ln k . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela tem um valor finito) ou se diverge (cresce sem limites). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo sobre séries infinitas, como o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos observar os termos da série: 1k^2 ln k. Note que para todo k >= 2, ln k é positivo, então os termos são positivos. Isso é importante porque muitos testes de convergência funcionam apenas para séries de termos positivos.

Passo 3

Agora, vamos pensar em uma série que conhecemos bem e que podemos comparar com a nossa. Uma boa candidata é a série sumk=2^+infty 1k^2 , que é conhecida como uma série p com p = 2 . Sabemos que séries p convergem quando p > 1 , então essa série específica converge.

Passo 4

Vamos comparar os termos das duas séries. Observamos que:
1k^2 ln k < 1k^2
porque ln k > 1 para todo k >= 3. Isso significa que cada termo da nossa série s2 é menor que o correspondente termo da série p que sabemos que converge.

Passo 5

De acordo com o Teste da Comparação, se todos os termos de uma série sum ak forem menores ou iguais aos termos de uma série sum bk que converge, então a série sum ak também converge. No nosso caso, ak = 1k^2 ln k e bk = 1k^2 , com sum bk convergente.

Resposta

Portanto, pela comparação com a série sumk=2^+infty 1k^2 , concluímos que a série s2 = sumk=2^+infty 1k^2 ln k converge.

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