Determine se a seguinte série converge ou diverge:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série converge ou diverge. Vamos usar ferramentas de cálculo de séries, mais especificamente o Teste da Razão, que nos ajuda a analisar o comportamento dos termos da série quando fica muito grande.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para uma série , se o limite for:
L < 1 : a série converge.
L > 1 : a série diverge.
L = 1 : o teste é inconclusivo.
No nosso caso, ak = k! cdot 2^kk^k . Vamos calcular ak+1ak .
Passo 3
Vamos escrever e depois formar a razão:
Agora, a razão fica:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
ak+1ak = 2 cdot ( kk+1 )^k cdot 1k+1
Agora, analisamos o limite quando k to infty :
L = limk to infty 2 cdot ( kk+1 )^k cdot 1k+1
Passo 5
Observamos que:
( kk+1 )^k = ( 1 - 1k+1 )^k approx e^-1 quando k to infty
Além disso, 1k+1 tende a 0 quando k cresce. Então, temos:
L approx 2 cdot e^-1 cdot 0 = 0
Resposta
Como L = 0 < 1 , pelo Teste da Razão, a série s3 = sumk=1^+infty k! cdot 2^kk^k converge.