Determine se a seguinte série converge ou diverge:
s3=sumk=1^+infty k!2^kk^k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série s3 = sumk=1^+infty k! cdot 2^kk^k converge ou diverge. Vamos usar ferramentas de cálculo de séries, mais especificamente o Teste da Razão, que nos ajuda a analisar o comportamento dos termos da série quando k fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para uma série sum ak , se o limite L = limk to infty | ak+1ak | for:
  • L < 1 : a série converge.
  • L > 1 : a série diverge.
  • L = 1 : o teste é inconclusivo.
No nosso caso, ak = k! cdot 2^kk^k . Vamos calcular ak+1ak .

Passo 3

Vamos escrever e depois formar a razão:
Agora, a razão fica:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
ak+1ak = 2 cdot ( kk+1 )^k cdot 1k+1
Agora, analisamos o limite quando k to infty :
L = limk to infty 2 cdot ( kk+1 )^k cdot 1k+1

Passo 5

Observamos que:
( kk+1 )^k = ( 1 - 1k+1 )^k approx e^-1 quando k to infty
Além disso, 1k+1 tende a 0 quando k cresce. Então, temos:
L approx 2 cdot e^-1 cdot 0 = 0

Resposta

Como L = 0 < 1 , pelo Teste da Razão, a série s3 = sumk=1^+infty k! cdot 2^kk^k converge.

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