Determine se a seguinte série converge ou diverge:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série
converge ou diverge. Isso envolve entender de séries infinitas, especificamente os testes de convergência que ajudam a gente a saber se a soma acaba chegando num número ou se vira um número sem fim.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada geral na série:
. À medida que
cresce, o denominador
também cresce, o que faz com que cada termo da série fique menor. Isso já é um bom sinal para pensar que a série pode convergir.
Passo 3
Vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos ajuda a comparar a série que queremos estudar com outra série que já sabemos se converge ou diverge. Se a série comparada também converge e nossos termos são menores ou iguais a ela, então a nossa série também converge.
Passo 4
Vamos comparar com a série
. Sabemos que essa série é a famosa série p, onde
. E séries p com
sempre convergem. Isso é algo que a gente aprende sobre séries infinitas: se os termos gerais são do tipo
e
, a série converge.
Passo 5
Agora, vamos ver a relação entre os termos das duas séries:
Isso porque
é sempre maior que
para
, então o inverso é menor.
Passo 6
Como a série
converge e cada termo da nossa série original
é menor que os termos dessa série comparada, pelo Teste da Comparação, a nossa série também converge.
Resposta
A série
converge.