Determine se a seguinte série converge ou diverge:
S5=sumk=1^+infty 11+k^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série S5 = sumk=1^+infty 11+k^2 converge ou diverge. Isso envolve entender de séries infinitas, especificamente os testes de convergência que ajudam a gente a saber se a soma acaba chegando num número ou se vira um número sem fim.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada geral na série: 11+k^2. À medida que k cresce, o denominador 1 + k^2 também cresce, o que faz com que cada termo da série fique menor. Isso já é um bom sinal para pensar que a série pode convergir.

Passo 3

Vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos ajuda a comparar a série que queremos estudar com outra série que já sabemos se converge ou diverge. Se a série comparada também converge e nossos termos são menores ou iguais a ela, então a nossa série também converge.

Passo 4

Vamos comparar com a série sumk=1^+infty 1k^2. Sabemos que essa série é a famosa série p, onde p = 2. E séries p com p > 1 sempre convergem. Isso é algo que a gente aprende sobre séries infinitas: se os termos gerais são do tipo 1k^p e p > 1, a série converge.

Passo 5

Agora, vamos ver a relação entre os termos das duas séries:
11 + k^2 < 1k^2
Isso porque 1 + k^2 é sempre maior que k^2 para k >= 1, então o inverso é menor.

Passo 6

Como a série sumk=1^+infty 1k^2 converge e cada termo da nossa série original 11 + k^2 é menor que os termos dessa série comparada, pelo Teste da Comparação, a nossa série também converge.

Resposta

A série S5 = sumk=1^+infty 11+k^2 converge.

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