Determine se a seguinte série converge ou diverge:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que temos é verificar se a série infinita converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência. Vamos precisar entender como o comportamento das funções e influenciam na soma dos termos da série.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos da série: . Sabemos que oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de . Por outro lado, (logaritmo natural de ) cresce sem limites conforme aumenta. Isso significa que o denominador está aumentando, o que pode ajudar a série a convergir.
Passo 3
Para determinar a convergência da série, vamos verificar se ela converge absolutamente ou condicionalmente. A convergência absoluta acontece se a série dos valores absolutos converge, ou seja, se converge.
Passo 4
Vamos olhar para a série dos valores absolutos: sumk=2^+infty |cos k|ln k . Sabemos que |cos k| <= 1 para todo k , então |cos k|ln k <= 1ln k .
Passo 5
Agora, precisamos verificar se a série sumk=2^+infty 1ln k converge. Para isso, podemos comparar com a integral correspondente:
integral2^+infty 1ln x , dx
Essa integral, de fato, diverge porque o logaritmo cresce muito lentamente, fazendo com que a área sob a curva seja infinita. Portanto, a série sumk=2^+infty 1ln k também diverge.
Passo 6
Como a série dos valores absolutos diverge, a série original sumk=2^+infty cos kln k não converge absolutamente. Mas isso não significa necessariamente que ela diverge completamente. Podemos verificar se ela converge condicionalmente usando o Teste de Dirichlet.
Passo 7
O Teste de Dirichlet diz que, se temos uma série sum ak bk , onde:
ak é uma sequência monótona que tende a zero.
As somas parciais de bk são limitadas.
No nosso caso, ak = 1ln k é positiva, decrescente e tende a zero conforme k aumenta. Já bk = cos k tem somas parciais que são limitadas, pois cos k oscila entre -1 e 1.
Passo 8
Aplicando o Teste de Dirichlet, concluímos que a série sumk=2^+infty cos kln k converge condicionalmente. Ou seja, ela converge, mas não de forma absoluta.
Resposta
A série sumk=2^+infty cos kln k converge condicionalmente.