Determine os valores de x para que a seguinte série seja convergente:
s6=sumk=1^+infty x^kk^2

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a parada aqui. Temos uma série infinita que parece com isso:
s6 = sumk=1^+infty x^kk^2
O que a gente quer descobrir é para quais valores de x essa série vai convergir, ou seja, não vai dar “infinito”. Para resolver isso, vamos precisar usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série convergir. Uma série sum ak converge se a soma dos seus termos tende a um número finito quando k vai para o infinito. No nosso caso, os termos são ak = x^kk^2 . Precisamos descobrir para quais x essa soma não explode.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão, que é uma maneira de verificar a convergência de séries. O teste diz que olhamos para o limite:
L = limk to infty | ak+1ak |
Se L < 1 , a série converge; se L > 1 , diverge; e se L = 1 , o teste não conclui nada.

Passo 4

Aplicando isso à nossa série:
ak = x^kk^2
ak+1 = x^k+1(k+1)^2
Então,
ak+1ak = x^k+1(k+1)^2 cdot k^2x^k = x cdot ( kk+1 )^2

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando k vai para o infinito:
L = limk to infty | x cdot ( kk+1 )^2 |
Sabemos que:
limk to infty ( kk+1 )^2 = 1
Então,
L = |x| cdot 1 = |x|

Passo 6

De acordo com o Teste da Razão:
  • Se |x| < 1 , então L = |x| < 1 , e a série converge.
  • Se |x| > 1 , então L = |x| > 1 , e a série diverge.
  • Se |x| = 1 , o teste não conclui, então precisamos analisar separadamente.

Passo 7

Vamos analisar o caso em que |x| = 1 , ou seja, x = 1 ou x = -1 :
  • Para x = 1 :
sumk=1^+infty 1^kk^2 = sumk=1^+infty 1k^2
Sabemos que essa série é a famosa série de Basileia, que converge para pi^26 .
  • Para x = -1 :
sumk=1^+infty (-1)^kk^2
Essa é uma série alternada que também converge, já que os termos 1k^2 diminuem e tendem a zero.

Resposta

A série s6 = sumk=1^+infty x^kk^2 converge para todos os valores de x tais que |x| <= 1 .

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